Научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Образовательные результаты (ФОП)
Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к построению графиков. (А11.16)
Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции, периодичность функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции, геометрический и физический смысл производной, первообразная, определённый интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических и физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью интеграла; приводить примеры математического моделирования с помощью дифференциальных уравнений (ЕТ4)
2. Разминка
Повторение пройденного: решите в тетради.
1) В ряд выписано 22 натуральных числа так, что сумма любых трёх подряд идущих чисел не больше 9.
а) Может ли сумма всех чисел равняться 65?
б) Может ли одно из чисел равняться 8?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы всех чисел.
В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.
2) Имеется 15 гирь массами 1,2,3,…,15 г. Их раскладывают на несколько кучек с равными массами (каждая гиря — ровно в одной кучке).
а) Можно ли разложить гири на 7 кучек?
б) Можно ли разложить гири на 6 кучек?
в) Какое наибольшее количество кучек может получиться?
В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.
3. Изучаем новый материал
Пример
y=x3−3x2+2 на [1;4]: y′=3x(x−2), на отрезке x=2; y(1)=0, y(2)=−2, y(4)=18 — наименьшее −2, наибольшее 18.
Обратите внимание: Если на отрезке одна точка экстремума — минимум, то в ней и наименьшее значение.
Разберём пример
Найдите наибольшее значение функции y=x3−12x2+21x+24 на отрезке [−2;6].
y′=3x2−24x+21=0 при x=1 и x=7.
Отрезку принадлежат: x=1.
Значения в критических точках и на концах: y(−2)=−74; y(1)=34; y(6)=−66.
Наибольшее из них: 34.
Ответ: 34.
Способ. Алгоритм
1.
Найдите y′ и критические точки.
→
2.
Оставьте те, что лежат на отрезке.
→
3.
Вычислите y в них и на концах отрезка; выберите наибольшее или наименьшее.
4. Тренировка
Задания — по возрастанию сложности.
Базовый уровень
Время на выполнение: ≈10 мин
1) Наибольшее значение многочлена на отрезке.Найдите наибольшее значение функции y=x3−3x2−24x−12 на отрезке [−5;3].
2) Наименьшее значение многочлена на отрезке.Найдите наименьшее значение функции y=x3−6x2−96x+7 на отрезке [−2;11].
Средний уровень
Время на выполнение: ≈24 мин
3) Наибольшее значение: обе критические точки на отрезке.Найдите наибольшее значение функции y=x3−3x2−72x−13 на отрезке [−5;7].
4) Наименьшее значение: обе критические точки на отрезке.Найдите наименьшее значение функции y=x3−18x2+105x−12 на отрезке [3;10].
5) Наибольшее значение при отрицательном коэффициенте.Найдите наибольшее значение функции y=−x3+15x2−48x−7 на отрезке [0;9].
6) Наименьшее значение суммы x + a²/x.Найдите наименьшее значение функции y=x+x16+11 на отрезке [1;9].
Повышенный уровень
Время на выполнение: ≈28 мин
7) Наименьшее значение с корнем на отрезке.Найдите наименьшее значение функции y=32xx−6x+12 на отрезке [1;41].
8) Наименьшее значение произведения с экспонентой.Найдите наименьшее значение функции y=(x−7)ex−6 на отрезке [4;7].
9) Наименьшее значение при отрицательном коэффициенте.Найдите наименьшее значение функции y=−x3+3x2+105x−2 на отрезке [−7;9].
10) Наибольшее значение многочлена: конец отрезка.Найдите наибольшее значение функции y=x3−15x2+63x+10 на отрезке [4;10].
