Рабочий лист урока

← К уроку

ЕГЭ профильный • 11 класс

Показательные и логарифмические функции

(задание 12 · Наибольшее и наименьшее значение функции)

Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока

Научиться исследовать показательные и логарифмические функции с помощью производной.

Образовательные результаты (ФОП)

Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к построению графиков. (А11.16)
Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции, периодичность функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции, геометрический и физический смысл производной, первообразная, определённый интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических и физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью интеграла; приводить примеры математического моделирования с помощью дифференциальных уравнений (ЕТ4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.

1) В ряд выписано $22$ натуральных числа так, что сумма любых трёх подряд идущих чисел не больше $9$ . а) Может ли сумма всех чисел равняться $65$ ? б) Может ли одно из чисел равняться $8$ ? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы всех чисел. В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.
2) Имеется $15$ гирь массами $1, 2, 3, \ldots, 15$ г. Их раскладывают на несколько кучек с равными массами (каждая гиря — ровно в одной кучке). а) Можно ли разложить гири на $7$ кучек? б) Можно ли разложить гири на $6$ кучек? в) Какое наибольшее количество кучек может получиться? В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.

3. Изучаем новый материал

Производные

$(e^x)' = e^x$ , $(e^{kx + b})' = ke^{kx + b}$ , $(\ln(x + a))' = \dfrac{1}{x + a}$ .
$(uv)' = u'v + uv'$ : $((x - a)e^x)' = (x - a + 1)e^x$ .

Пример

$y = (x - 5)e^{x - 4}$ : $y' = (x - 4)e^{x - 4}$ , минимум $x = 4$ , $y(4) = -1$ .

Синяя —

y = 2^x

(

a > 1

, возрастает), красная —

y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x

(

0 < a < 1

, убывает); обе через

(0; 1)

Синяя —

y = \log_2 x

(возрастает), красная —

y = \log_{\frac{1}{2}} x

(убывает); обе через

(1; 0)

Обратите внимание:

2^t

возрастает: наименьшее значение

2^{x^2 - 4x + 7}

— при наименьшем показателе (

x = 2

Разберём пример

Найдите точку минимума функции

y = (x - 8)e^{x - 7}

$y' = e^{x - 7} + (x - 8)e^{x - 7} = (x - 7)e^{x - 7}$ .
$y' = 0$ при $x = 7$ ; слева производная отрицательна, справа положительна — это точка минимума.

Ответ: 7.

Способ. Как решать

Множитель

e^{\ldots} > 0

не влияет на знак производной — знак задаёт второй множитель.

→

Значения вида

e^0 = 1

\ln 1 = 0

подбирают так, чтобы ответ был числом.

4. Тренировка

Задания — по возрастанию сложности.

Базовый уровень

Время на выполнение: ≈10 мин

1) Точка минимума произведения с экспонентой. Найдите точку минимума функции

y = (x + 3)e^{x + 4}

2) Наименьшее значение степени двойки. Найдите наименьшее значение функции

y = 2^{x^{2} + 2x + 1}

Средний уровень

Время на выполнение: ≈30 мин

3) Наименьшее значение функции (x − a)·e^x. Найдите наименьшее значение функции

y = (x + 2)e^{x + 3}

на отрезке

[-5; -2]

4) Наименьшее значение с e^{2x}. Найдите наименьшее значение функции

y = e^{2x} - 22e^{x}

на отрезке

[0; 3]

5) Точка максимума квадратного трёхчлена на e^x. Найдите точку максимума функции

y = (x^{2} - 3x - 17)e^{x}

6) Точка минимума квадратного трёхчлена на e^x. Найдите точку минимума функции

y = (x^{2} - 2x - 23)e^{x}

7) Наибольшее значение с логарифмом. Найдите наибольшее значение функции

y = 8\ln(x + 7) - 8x + 1

на отрезке

[-6{,}5; -5]

Повышенный уровень

Время на выполнение: ≈21 мин

8) Точка максимума с множителем e^{−x}. Найдите точку максимума функции

y = (x^{2} + 2x - 23)e^{-x}

9) Точка минимума: многочлен и логарифм. Найдите точку минимума функции

y = x^{2} - 20x + 48\ln x

10) Точка минимума x − a·ln x. Найдите точку минимума функции

y = x - 9\ln x