MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
ЕГЭ профильный • 11 класс
Тригонометрические функции
(задание 12 · Наибольшее и наименьшее значение функции)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
Научиться находить наибольшее и наименьшее значения тригонометрических функций.
Образовательные результаты (ФОП)
  • Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к построению графиков. (А11.16)
  • Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции, периодичность функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции, геометрический и физический смысл производной, первообразная, определённый интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических и физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью интеграла; приводить примеры математического моделирования с помощью дифференциальных уравнений (ЕТ4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) В ряд выписано 2222 натуральных числа так, что сумма любых трёх подряд идущих чисел не больше 99. а) Может ли сумма всех чисел равняться 6565? б) Может ли одно из чисел равняться 88? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы всех чисел. В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.
  2. 2) Имеется 1515 гирь массами 1,2,3,…,151, 2, 3, \ldots, 15 г. Их раскладывают на несколько кучек с равными массами (каждая гиря — ровно в одной кучке). а) Можно ли разложить гири на 77 кучек? б) Можно ли разложить гири на 66 кучек? в) Какое наибольшее количество кучек может получиться? В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.

3. Изучаем новый материал

Производные

  • (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x, (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x, (tg⁡x)′=1cos⁡2x(\tg x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}.

Пример

  • y=7cos⁡x+9x+2y = 7\cos x + 9x + 2 на [−3π2;0]\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right]: y′=9−7sin⁡x>0y' = 9 - 7\sin x > 0, наибольшее y(0)=9y(0) = 9.
y=sin⁡xy = \sin x: период 2π2\pi, нули x=πnx = \pi n, наибольшее значение 11, наименьшее −1-1.
y=cos⁡xy = \cos x: период 2π2\pi, нули x=π2+πnx = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, cos⁡0=1\cos 0 = 1.
Обратите внимание: Выбирайте конец отрезка, где слагаемые с π\pi обнуляются, — иначе ответ не будет числом.
Разберём пример
Найдите наибольшее значение функции y=5cos⁡x+17x+18y = 5\cos x + 17x + 18 на отрезке [−3π2;0]\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right].
  1. y′=−5sin⁡x+17y' = -5\sin x + 17; так как ∣5sin⁡x∣≤5<17|5\sin x| \le 5 < 17, производная положительна.
  2. Функция возрастает, наибольшее значение — на правом конце, при x=0x = 0.
  3. y(0)=5⋅1+0+18=23y(0) = 5 \cdot 1 + 0 + 18 = 23.
Ответ: 23.
Способ. Как решать
1.
Часто производная не меняет знак на отрезке (например, 5+3sin⁡x>05 + 3\sin x > 0): функция монотонна, ответ — на конце отрезка.
→
2.
Если производная обращается в нуль внутри отрезка, сравните значения в этой точке и на концах.

4. Тренировка

Задания — по возрастанию сложности.
Базовый уровень
Время на выполнение: ≈10 мин
1) Наибольшее значение: возрастающая функция с косинусом. Найдите наибольшее значение функции y=3cos⁡x+4x+6y = 3\cos x + 4x + 6 на отрезке [−3π2;0]\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right].
2) Наибольшее значение: убывающая функция с синусом. Найдите наибольшее значение функции y=9sin⁡x−18x+2y = 9\sin x - 18x + 2 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
Средний уровень
Время на выполнение: ≈24 мин
3) Наименьшее значение: возрастающая функция с синусом. Найдите наименьшее значение функции y=8sin⁡x+2x+12y = 8\sin x + 2x + 12 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
4) Наибольшее значение с тангенсом. Найдите наибольшее значение функции y=8tg⁡x−8x+2π+11y = 8\tg x - 8x + 2\pi + 11 на отрезке [−π4;π4]\left[-\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{4}\right].
5) Наименьшее значение квадрата косинуса. Найдите наименьшее значение функции y=12cos⁡2x−10y = 12\cos^{2} x - 10 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
6) Наибольшее значение: косинус и линейная функция. Найдите наибольшее значение функции y=16cos⁡x+19x−13y = 16\cos x + 19x - 13 на отрезке [−3π2;0]\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right].
Повышенный уровень
Время на выполнение: ≈28 мин
7) Наибольшее значение во внутренней точке. Найдите наибольшее значение функции y=2cos⁡x+3x−3π3−6y = 2\cos x + \sqrt{3}x - \dfrac{\sqrt{3}\pi}{3} - 6 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
8) Наибольшее значение с тангенсом и большим коэффициентом. Найдите наибольшее значение функции y=21tg⁡x−21x+21π4−7y = 21\tg x - 21x + \dfrac{21\pi}{4} - 7 на отрезке [−π4;π4]\left[-\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{4}\right].
9) Наибольшее значение: синус и линейная функция. Найдите наибольшее значение функции y=16sin⁡x−17x−8y = 16\sin x - 17x - 8 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
10) Наименьшее значение: синус с большим коэффициентом. Найдите наименьшее значение функции y=15sin⁡x+9x−30y = 15\sin x + 9x - 30 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].