MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Олимпиадная математика • 3 класс
Урок 3 из 4
Кубики
(Фигуры и головоломки)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
Научиться решать геометрические задачи-головоломки.

2. Разминка

Повторение пройденного: устно, быстро, без записи в тетради.
  1. 1) На прямой отметили 66 точек. Сколько всего отрезков с концами в этих точках?
  2. 2) Полоска 1×31 \times 3 разлинована на клетки. Сколько на ней прямоугольников (из одной или нескольких клеток подряд)?
  3. 3) Из спичек выложили в ряд 1414 квадратов (соседние квадраты имеют общую сторону). Сколько понадобилось спичек?

3. Изучаем новый материал

Окрашенный куб nimesnimesnn imes n imes n

  • Три окрашенные грани — 88 угловых кубиков.
  • Две — на рёбрах: 12⋅(n−2)12 \cdot (n - 2).
  • Одна — внутри граней: 6⋅(n−2)⋅(n−2)6 \cdot (n - 2) \cdot (n - 2).
  • Ни одной — внутренний куб: (n−2)⋅(n−2)⋅(n−2)(n - 2) \cdot (n - 2) \cdot (n - 2).
Разберём пример
Деревянный куб покрасили снаружи и распилили на кубики, разделив каждое ребро на 55 равных частей. Сколько кубиков совсем не окрашено?
  1. Неокрашенные — внутренний куб со стороной 5−2=35 - 2 = 3.
  2. 3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27.
Ответ: 27.

4. Тренировка

Каждое задание тренирует свой образовательный результат — по возрастанию сложности.
Результат: решать геометрические задачи-головоломки.
Время на выполнение: ≈30 мин
1) Базовый уровень. Деревянный куб покрасили снаружи и распилили на кубики, разделив каждое ребро на 55 равных частей. Сколько кубиков окрашено ровно с трёх сторон?
2) Средний уровень. Деревянный куб покрасили снаружи и распилили на кубики, разделив каждое ребро на 66 равных частей. Сколько кубиков окрашено ровно с двух сторон?
3) Средний уровень. У игрального кубика сумма очков на противоположных гранях равна 77. Кубик лежит на столе, сверху 33 очка. Чему равна сумма очков на всех гранях, кроме нижней?
4) Средний уровень. Из маленьких кубиков сложили куб 4×4×44 \times 4 \times 4. Сколько кубиков нужно добавить, чтобы получился куб 5×5×55 \times 5 \times 5?
5) Повышенный уровень. Деревянный куб покрасили снаружи и распилили на кубики, разделив каждое ребро на 33 равных части. Сколько кубиков окрашено ровно с одной стороны?
6) Повышенный уровень. Деревянный куб покрасили снаружи и распилили на кубики, разделив каждое ребро на 44 равных части. Сколько кубиков совсем не окрашено?
7) Повышенный уровень. Из кубиков сложили пирамиду: нижний слой — квадрат 4×44 \times 4, на нём — 3×33 \times 3 и так далее, наверху — один кубик. Сколько кубиков в пирамиде?
8) Повышенный уровень. На столе стоит башня: кубики (их 33) поставлены друг на друга. Сколько граней кубиков видно, то есть они не касаются ни стола, ни других кубиков?
9) Повышенный уровень. Из одинаковых кубиков сложили брусок 3×3×43 \times 3 \times 4 и покрасили его снаружи. Сколько кубиков остались совсем не покрашенными?
10) Повышенный уровень. Из одинаковых кубиков сложили брусок 4×4×64 \times 4 \times 6 и покрасили его снаружи. Сколько кубиков оказались покрашены хотя бы с одной стороны?
Запиши решение в клетчатом поле: