MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 3 из 3
§ 3. Дисперсия и стандартное отклонение
(Глава 1. Представление данных и описательная статистика)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • вычислять дисперсию и стандартное отклонение
  • применять свойства дисперсии
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее, наименьшее значение, размах массива числовых данных. (В10.2)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Найдите медиану набора чисел: 11;18;39;12;31;31;25;9;1611; 18; 39; 12; 31; 31; 25; 9; 16.
  2. 2) В таблице — средняя температура воздуха по месяцам. Какой была самая высокая средняя температура? Ответ дайте в градусах Цельсия.
    Месяциюньиюльавгустсентябрьоктябрь
    Температура, ∘C^\circ\text{C}148132414

3. Изучаем новый материал

Определения

  • Дисперсия — среднее квадратов отклонений от среднего: D=(x1−xˉ)2+…+(xn−xˉ)2nD = \dfrac{(x_1 - \bar x)^2 + \ldots + (x_n - \bar x)^2}{n}.
  • Стандартное отклонение σ=D\sigma = \sqrt D.
  • Другая формула: D=x2‾−xˉ2D = \overline{x^2} - \bar x^2.

Свойства

  • Прибавили ко всем числам cc — дисперсия не изменилась.
  • Умножили все числа на kk — дисперсия умножилась на k2k^2.
Обратите внимание: Набор 1;3;51; 3; 5: xˉ=3\bar x = 3, D=4+0+43=83D = \dfrac{4 + 0 + 4}{3} = \dfrac{8}{3}.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: вычислять дисперсию и стандартное отклонение.
Находим среднее, отклонения, их квадраты и среднее квадратов: 2;4;6;82; 4; 6; 8 — среднее 55, квадраты 9;1;1;99; 1; 1; 9, D=5D = 5.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Найдите дисперсию набора чисел: 2;6;7;52; 6; 7; 5.
  1. Среднее: 55.
  2. Отклонения от среднего: −3-3; 11; 22; 00.
  3. Квадраты отклонений: 99; 11; 44; 00.
  4. Дисперсия — среднее квадратов: 3,53{,}5.
Ответ: 3,5.
1) Базовый уровень. Найдите дисперсию набора чисел: 1;4;12;31; 4; 12; 3.
2) Базовый уровень. Для набора 1;7;11;5;11; 7; 11; 5; 1 найдите среднее и укажите, у скольких чисел отклонение от среднего положительно.
3) Средний уровень. Найдите стандартное отклонение набора: 18;1618; 16.
Навык 2: применять свойства дисперсии.
D(x+c)=D(x)D(x + c) = D(x), D(kx)=k2D(x)D(kx) = k^2 D(x); через суммы: D=∑xi2n−xˉ2D = \dfrac{\sum x_i^2}{n} - \bar x^2.
Время на выполнение: ≈13 мин
Образец решения
Найдите дисперсию набора 6;8;3;9;16; 8; 3; 9; 1, используя формулу D=x2‾−xˉ2D = \overline{x^2} - \bar{x}^2.
  1. Среднее: xˉ=5,4\bar x = 5{,}4.
  2. Среднее квадратов: x2‾=36+64+9+81+15=38,2\overline{x^2} = \dfrac{36 + 64 + 9 + 81 + 1}{5} = 38{,}2.
  3. D=38,2−5,42=9,04D = 38{,}2 - 5{,}4^2 = 9{,}04.
Ответ: 9,04.
4) Средний уровень. Найдите дисперсию набора 9;5;8;29; 5; 8; 2, используя формулу D=x2‾−xˉ2D = \overline{x^2} - \bar{x}^2.
5) Средний уровень. Два стрелка выбили очки: первый — 7;6;8;77; 6; 8; 7, второй — 7;6;10;57; 6; 10; 5. Средние результаты у них одинаковы. У кого результаты менее стабильны (больше дисперсия)? В ответ запишите номер стрелка.
6) Повышенный уровень. У первой группы из 1010 чисел среднее 4848 и дисперсия 3030, у второй группы из 1515 чисел — то же среднее 4848 и дисперсия 1010. Найдите дисперсию объединённого набора.