MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 2 из 3
§ 8. Диаграммы Эйлера
(Глава 3. Операции над событиями)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • заполнять диаграмму Эйлера для двух множеств
  • решать задачи с тремя множествами и оценками
Образовательные результаты (ФОП)
  • Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных событий, событие, противоположное данному событию, пользоваться диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей при решении задач. (В10.4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,940{,}94. Найдите вероятность того, что он прослужит не больше года.
  2. 2) Игральную кость бросают дважды. Событие AA — «сумма очков не меньше 1111», событие BB — «на костях выпало одинаковое число очков». Сколько элементарных событий благоприятствуют событию A∩BA \cap B?

3. Изучаем новый материал

Диаграмма Эйлера

  • Круги — события (множества), их общая часть — пересечение.
  • ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|; «только A» =∣A∣−∣A∩B∣= |A| - |A \cap B|.
Обратите внимание: Сначала заполняем самую внутреннюю часть (пересечение), потом остальные.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: заполнять диаграмму Эйлера для двух множеств.
1515 знают английский, 1212 — немецкий, 55 — оба: только английский 1010, только немецкий 77, хотя бы один язык 2222.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
В классе 2525 учеников. 1616 из них ходят в кружок робототехники, 1212 — в шахматный, 88 не ходят ни в один из этих кружков. Сколько учеников ходят в оба кружка?
  1. Ходят хотя бы в один кружок: 25−8=1725 - 8 = 17.
  2. По диаграмме Эйлера: 16+12−x=1716 + 12 - x = 17.
  3. x=11x = 11.
Ответ: 11.
1) Базовый уровень. В классе 2525 учеников. 1313 из них ходят в кружок робототехники, 1212 — в шахматный, 44 не ходят ни в один из этих кружков. Сколько учеников ходят в оба кружка?
2) Базовый уровень. 1515 туристов знают английский язык, 1818 — немецкий, 33 из них знают оба языка. Сколько туристов знают только английский?
3) Средний уровень. Вероятность того, что покупатель купит хлеб, равна 0,560{,}56, молоко — 0,420{,}42; вероятность того, что он не купит ни того, ни другого, равна 0,140{,}14. Найдите вероятность того, что он купит и хлеб, и молоко.
Навык 2: решать задачи с тремя множествами и оценками.
Для трёх: ∣A∪B∪C∣=∑∣A∣−∑∣A∩B∣+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = \sum |A| - \sum |A \cap B| + |A \cap B \cap C|; пересечение не меньше ∣A∣+∣B∣−n|A| + |B| - n.
Время на выполнение: ≈12 мин
Образец решения
В группе 3535 студентов. 1010 сдали экзамен по математике досрочно, 99 — по физике, 55 — оба экзамена. Сколько студентов не сдали досрочно ни одного из этих экзаменов?
  1. Хотя бы один экзамен: 10+9−5=1410 + 9 - 5 = 14.
  2. Ни одного: 35−14=2135 - 14 = 21.
Ответ: 21.
4) Средний уровень. В группе 3535 студентов. 1010 сдали экзамен по математике досрочно, 77 — по физике, 55 — оба экзамена. Сколько студентов не сдали досрочно ни одного из этих экзаменов?
5) Средний уровень. Из 3030 учеников 1515 занимаются плаванием, 88 — бегом, 44 — и тем и другим. Наугад выбрали ученика, который занимается бегом. Какова вероятность, что он занимается и плаванием?
6) Средний уровень. В классе 3030 учеников; 99 любят математику, 1010 — литературу. Каким наибольшим может быть число учеников, которые любят оба предмета?