MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 3 из 3
§ 9. Формула сложения вероятностей
(Глава 3. Операции над событиями)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • складывать вероятности событий
  • выражать неизвестные вероятности из формулы сложения
Образовательные результаты (ФОП)
  • Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных событий, событие, противоположное данному событию, пользоваться диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей при решении задач. (В10.4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) 1313 туристов знают английский язык, 1818 — немецкий, 88 из них знают оба языка. Сколько туристов знают только английский?
  2. 2) Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,940{,}94. Найдите вероятность того, что он прослужит не больше года.

3. Изучаем новый материал

Формулы

  • Несовместные: P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).
  • Любые: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
Обратите внимание: Из формулы сложения можно найти любую из четырёх величин, зная три другие.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: складывать вероятности событий.
P(A)=0,4P(A) = 0{,}4, P(B)=0,3P(B) = 0{,}3, P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1: P(A∪B)=0,6P(A \cup B) = 0{,}6.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
На экзамене вероятность получить вопрос по геометрии равна 0,40{,}4, по алгебре — 0,390{,}39. Вопросов, относящихся к обеим темам, нет. Найдите вероятность того, что достанется вопрос по одной из этих тем.
  1. События несовместны, вероятности складываются.
  2. P=0,4+0,39=0,79P = 0{,}4 + 0{,}39 = 0{,}79.
Ответ: 0,79.
1) Базовый уровень. На экзамене вероятность получить вопрос по геометрии равна 0,230{,}23, по алгебре — 0,320{,}32. Вопросов, относящихся к обеим темам, нет. Найдите вероятность того, что достанется вопрос по одной из этих тем.
2) Базовый уровень. P(A)=0,22P(A) = 0{,}22, P(B)=0,4P(B) = 0{,}4, P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1. Найдите P(A∪B)P(A \cup B).
3) Средний уровень. Из натуральных чисел от 11 до 2020 наугад выбирают одно. Найдите вероятность того, что оно делится на 33 или на 1010.
Навык 2: выражать неизвестные вероятности из формулы сложения.
P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B); при P(A)+P(B)>1P(A) + P(B) > 1 пересечение не меньше P(A)+P(B)−1P(A) + P(B) - 1.
Время на выполнение: ≈13 мин
Образец решения
P(A)=0,27P(A) = 0{,}27, P(A∩B)=0,12P(A \cap B) = 0{,}12, P(A∪B)=0,57P(A \cup B) = 0{,}57. Найдите P(B)P(B).
  1. P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
  2. P(B)=0,57−0,27+0,12=0,42P(B) = 0{,}57 - 0{,}27 + 0{,}12 = 0{,}42.
Ответ: 0,42.
4) Средний уровень. P(A)=0,4P(A) = 0{,}4, P(A∩B)=0,05P(A \cap B) = 0{,}05, P(A∪B)=0,79P(A \cup B) = 0{,}79. Найдите P(B)P(B).
5) Средний уровень. Ученик решает тест. Вероятность того, что он наберёт меньше 1010 баллов, равна 0,20{,}2, от 1010 до 1414 баллов — 0,20{,}2, от 1515 до 1919 — 0,320{,}32, 2020 и больше — 0,280{,}28. Найдите вероятность того, что он наберёт не меньше 1010 баллов.
6) Повышенный уровень. P(A)=0,69P(A) = 0{,}69, P(B)=0,41P(B) = 0{,}41. Какое наименьшее значение может принимать P(A∩B)P(A \cap B)?