MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 2 из 4
§ 11. Правило умножения. Дерево случайного опыта
(Глава 4. Условная вероятность и независимость)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • перемножать вероятности вдоль пути дерева
  • складывать вероятности нескольких путей
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события, находить вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного опыта. (В10.5)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) P(A∩B)=0,22P(A \cap B) = 0{,}22, P(B)=0,4P(B) = 0{,}4. Найдите условную вероятность P(A∣B)P(A \mid B).
  2. 2) P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,8P(B) = 0{,}8, P(A∩B)=0,04P(A \cap B) = 0{,}04. Найдите P(B∣A)P(B \mid A) и P(A∣B)P(A \mid B); в ответ запишите P(B∣A)P(B \mid A).

3. Изучаем новый материал

Правило умножения

  • P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A).

Дерево

  • Вероятность пути — произведение вероятностей на рёбрах.
  • Вероятность события — сумма вероятностей его путей.
Обратите внимание: Без возвращения знаменатель уменьшается: 310⋅29\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9}.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: перемножать вероятности вдоль пути дерева.
Две синие ручки из 1010 (44 синих): 410⋅39=215\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{15}.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
В коробке 66 ручек, из них 33 синих. Наугад по очереди берут две ручки. Найдите вероятность того, что обе синие.
  1. Первая синяя: 36\dfrac{3}{6}; при этом вторая синяя: 25\dfrac{2}{5}.
  2. По правилу умножения: 36⋅25=0,2\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = 0{,}2.
Ответ: 0,2.
1) Базовый уровень. В коробке 2525 ручек, из них 44 синих. Наугад по очереди берут две ручки. Найдите вероятность того, что обе синие.
2) Базовый уровень. Вероятность того, что утром будет дождь, равна 0,60{,}6. Если дождь будет, то с вероятностью 0,90{,}9 Аня возьмёт зонт. Найдите вероятность того, что утром будет дождь и Аня возьмёт зонт.
3) Средний уровень. Ключ подходит к замку с вероятностью 0,10{,}1 (у каждого ключа независимо). Ключи пробуют по очереди. Найдите вероятность того, что подойдёт именно 33-й ключ.
Навык 2: складывать вероятности нескольких путей.
Разные цвета: «белый, затем чёрный» + «чёрный, затем белый»; матч до двух побед — пути ВВ, ВПВ, ПВВ.
Время на выполнение: ≈13 мин
Образец решения
Ученик выбирает задачу: лёгкую с вероятностью 0,40{,}4 или трудную. Лёгкую он решает с вероятностью 0,90{,}9, трудную — с вероятностью 0,20{,}2. Найдите вероятность того, что ученик решит выбранную задачу.
  1. Путь «лёгкая → решил»: 0,4⋅0,9=0,360{,}4 \cdot 0{,}9 = 0{,}36.
  2. Путь «трудная → решил»: 0,6⋅0,2=0,120{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}12.
  3. Сумма: 0,480{,}48.
Ответ: 0,48.
4) Средний уровень. Ученик выбирает задачу: лёгкую с вероятностью 0,70{,}7 или трудную. Лёгкую он решает с вероятностью 0,80{,}8, трудную — с вероятностью 0,40{,}4. Найдите вероятность того, что ученик решит выбранную задачу.
5) Средний уровень. В урне 33 белых и 33 чёрных шаров. Шары достают по одному без возвращения. Найдите вероятность того, что белый шар впервые появится вторым.
6) Повышенный уровень. Три стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятности попадания — 0,60{,}6, 0,80{,}8 и 0,70{,}7. Найдите вероятность того, что в мишени окажется не меньше двух попаданий.