MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 3 из 4
§ 12. Формула полной вероятности
(Глава 4. Условная вероятность и независимость)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • применять формулу полной вероятности
  • решать задачи в несколько этапов и обратные задачи
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события, находить вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного опыта. (В10.5)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) P(A∩B)=0,22P(A \cap B) = 0{,}22, P(B)=0,4P(B) = 0{,}4. Найдите условную вероятность P(A∣B)P(A \mid B).
  2. 2) P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,8P(B) = 0{,}8, P(A∩B)=0,04P(A \cap B) = 0{,}04. Найдите P(B∣A)P(B \mid A) и P(A∣B)P(A \mid B); в ответ запишите P(B∣A)P(B \mid A).

3. Изучаем новый материал

Формула

  • P(A)=P(H1)P(A∣H1)+P(H2)P(A∣H2)+…P(A) = P(H_1) P(A \mid H_1) + P(H_2) P(A \mid H_2) + \ldots, гипотезы HiH_i несовместны и покрывают все случаи.
Обратите внимание: Обратная задача: P(H1∣A)=P(H1)P(A∣H1)P(A)P(H_1 \mid A) = \dfrac{P(H_1) P(A \mid H_1)}{P(A)}.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: применять формулу полной вероятности.
70%70\% ламп с завода с браком 2%2\%, 30%30\% — с браком 5%5\%: 0,7⋅0,02+0,3⋅0,05=0,0290{,}7 \cdot 0{,}02 + 0{,}3 \cdot 0{,}05 = 0{,}029.
Время на выполнение: ≈11 мин
Образец решения
В магазин поступают лампочки двух заводов: 20%20\% — с первого, остальные — со второго. Брак на первом заводе составляет 3%3\%, на втором — 3%3\%. Найдите вероятность того, что купленная лампочка окажется бракованной.
  1. P=0,2⋅0,03+0,8⋅0,03P = 0{,}2 \cdot 0{,}03 + 0{,}8 \cdot 0{,}03.
  2. P=0,006+0,024=0,03P = 0{,}006 + 0{,}024 = 0{,}03.
Ответ: 0,03.
1) Базовый уровень. В магазин поступают лампочки двух заводов: 60%60\% — с первого, остальные — со второго. Брак на первом заводе составляет 2%2\%, на втором — 5%5\%. Найдите вероятность того, что купленная лампочка окажется бракованной.
2) Средний уровень. В первой урне 33 белых и 77 чёрных шаров, во второй — 55 белых и 55 чёрных. Наугад выбирают урну и достают из неё шар. Найдите вероятность того, что шар белый.
3) Средний уровень. Заболевание встречается у 6%6\% людей. Анализ даёт положительный результат у больного с вероятностью 0,980{,}98, а у здорового — с вероятностью 0,010{,}01. Найдите вероятность того, что анализ случайно выбранного человека окажется положительным.
Навык 2: решать задачи в несколько этапов и обратные задачи.
Перекладывание шара или погода на два дня — полная вероятность применяется по шагам; «чей брак» — доля пути в полной вероятности.
Время на выполнение: ≈15 мин
Образец решения
В первой коробке 11 белых и 33 чёрных шаров, во второй — 33 белых и 11 чёрных. Из первой коробки наугад перекладывают один шар во вторую, затем из второй достают шар. Найдите вероятность того, что он белый.
  1. Переложили белый (14\dfrac{1}{4}): во второй 44 белых из 55.
  2. Переложили чёрный (34\dfrac{3}{4}): 33 белых из 55.
  3. P=14⋅45+34⋅35=0,65P = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{5} = 0{,}65.
Ответ: 0,65.
4) Повышенный уровень. В урне 66 красных и 44 синих шаров. Достают два шара по очереди без возвращения. Найдите вероятность того, что второй шар красный.
5) Повышенный уровень. Если сегодня дождь, то завтра дождь будет с вероятностью 0,50{,}5; если сегодня сухо, то завтра дождь будет с вероятностью 0,20{,}2. Вероятность дождя сегодня равна 0,30{,}3. Найдите вероятность дождя завтра.
6) Повышенный уровень. Если сегодня дождь, то завтра дождь с вероятностью 0,90{,}9, а если сухо — с вероятностью 0,40{,}4. Сегодня дождь идёт с вероятностью 0,80{,}8. Найдите вероятность дождя послезавтра.