MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 4 из 4
§ 13. Независимые события
(Глава 4. Условная вероятность и независимость)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • находить вероятности независимых событий
  • проверять независимость и решать задачи о надёжности
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события, находить вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного опыта. (В10.5)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) В коробке 66 ручек, из них 33 синих. Наугад по очереди берут две ручки. Найдите вероятность того, что обе синие.
  2. 2) Вероятность того, что утром будет дождь, равна 0,20{,}2. Если дождь будет, то с вероятностью 0,80{,}8 Аня возьмёт зонт. Найдите вероятность того, что утром будет дождь и Аня возьмёт зонт.

3. Изучаем новый материал

Независимость

  • A и B независимы, если P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
  • Хотя бы одно из nn независимых: 1−(1−p1)(1−p2)…1 - (1 - p_1)(1 - p_2)\ldots
Обратите внимание: Независимость проверяем по формуле, а не «на глаз».

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: находить вероятности независимых событий.
Оба светофора зелёные: 0,6⋅0,7=0,420{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42; хотя бы одна сирена из трёх (p=0,8p = 0{,}8): 1−0,23=0,9921 - 0{,}2^3 = 0{,}992.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Вероятность того, что первый светофор на пути горит зелёным, равна 0,90{,}9, второй — 0,80{,}8. Светофоры работают независимо. Найдите вероятность того, что оба горят зелёным.
  1. Для независимых событий P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
  2. P=0,9⋅0,8=0,72P = 0{,}9 \cdot 0{,}8 = 0{,}72.
Ответ: 0,72.
1) Базовый уровень. Вероятность того, что первый светофор на пути горит зелёным, равна 0,10{,}1, второй — 0,30{,}3. Светофоры работают независимо. Найдите вероятность того, что оба горят зелёным.
2) Базовый уровень. В зале ожидания 22 независимых кофейных автомата. Вероятности того, что автоматы неисправны, — 0,30{,}3, 0,30{,}3. Найдите вероятность того, что все автоматы исправны.
3) Средний уровень. Два стрелка независимо стреляют по одной мишени, вероятности попадания 0,50{,}5 и 0,70{,}7. Найдите вероятность того, что в мишени будет ровно одно попадание.
Навык 2: проверять независимость и решать задачи о надёжности.
Сравниваем P(A∩B)P(A \cap B) с P(A)⋅P(B)P(A) \cdot P(B); параллельный блок работает с вероятностью 1−q21 - q^2, последовательное соединение — произведение.
Время на выполнение: ≈13 мин
Образец решения
События AA и BB независимы, P(A)=0,9P(A) = 0{,}9, P(B)=0,8P(B) = 0{,}8. Найдите P(A∪B)P(A \cup B).
  1. P(A∩B)=0,9⋅0,8=0,72P(A \cap B) = 0{,}9 \cdot 0{,}8 = 0{,}72.
  2. P(A∪B)=0,9+0,8−0,72=0,98P(A \cup B) = 0{,}9 + 0{,}8 - 0{,}72 = 0{,}98.
Ответ: 0,98.
4) Средний уровень. События AA и BB независимы, P(A)=0,9P(A) = 0{,}9, P(B)=0,6P(B) = 0{,}6. Найдите P(A∪B)P(A \cup B).
5) Средний уровень. События AA и BB независимы, P(A)=0,2P(A) = 0{,}2, P(A∩B)=0,05P(A \cap B) = 0{,}05. Найдите P(B)P(B).
6) Повышенный уровень. Каждый выстрел поражает цель с вероятностью 0,60{,}6 (независимо). Какое наименьшее число выстрелов нужно, чтобы вероятность поразить цель хотя бы раз была не меньше 0,990{,}99?