MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 2 из 2
§ 20. Серия испытаний Бернулли
(Глава 6. Испытания Бернулли)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • применять формулу Бернулли
  • находить вероятности составных событий в серии
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний, успех и неудача, находить вероятности событий в серии независимых испытаний до первого успеха, находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли. (В10.7)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Баскетболист бросает мяч до первого попадания, вероятность попадания при каждом броске 0,40{,}4. Найдите вероятность того, что понадобится ровно 33 броска.
  2. 2) Ученик звонит другу, пока не дозвонится; при каждом звонке он дозванивается с вероятностью 0,70{,}7. Найдите вероятность того, что потребуется больше 22 звонков.

3. Изучаем новый материал

Формула Бернулли

  • Pn(k)=Cnkpkqn−kP_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}.
Обратите внимание: «Не меньше kk» — сумма Pn(k)+…+Pn(n)P_n(k) + \ldots + P_n(n) или 1−1 - сумма остальных.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: применять формулу Бернулли.
44 выстрела, p=0,8p = 0{,}8, ровно 33 попадания: C43⋅0,83⋅0,2=0,4096C_4^3 \cdot 0{,}8^3 \cdot 0{,}2 = 0{,}4096.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Стрелок делает 44 выстрела, вероятность попадания при каждом 0,90{,}9. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно 33 раза.
  1. Формула Бернулли: C43p3q1C_{4}^{3} p^{3} q^{1}.
  2. 4⋅0,93⋅0,11=0,29164 \cdot 0{,}9^{3} \cdot 0{,}1^{1} = 0{,}2916.
Ответ: 0,2916.
1) Базовый уровень. Стрелок делает 55 выстрелов, вероятность попадания при каждом 0,80{,}8. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно 33 раза.
2) Базовый уровень. Монету бросают 55 раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 33 раза.
3) Средний уровень. Партия из 33 изделий; каждое бракованное с вероятностью 0,20{,}2. Найдите вероятность того, что бракованных не больше 11.
Навык 2: находить вероятности составных событий в серии.
Складываем вероятности нужных значений kk; наиболее вероятное число успехов — около npnp.
Время на выполнение: ≈14 мин
Образец решения
Игральную кость бросают 55 раз. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 22 раза. Ответ округлите до тысячных.
  1. Испытания Бернулли: n=5n = 5, успех — шестёрка, p=16p = \dfrac{1}{6}, q=56q = \dfrac{5}{6}.
  2. C52(16)2(56)3=C_{5}^{2}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} ={}12507776≈0,161 \dfrac{1250}{7776} \approx 0{,}161.
Ответ: 0,161.
4) Средний уровень. Игральную кость бросают 33 раза. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 11 раз. Ответ округлите до тысячных.
5) Повышенный уровень. Проведено 44 испытания Бернулли с вероятностью успеха 0,80{,}8. Найдите вероятность того, что число успехов будет чётным (ноль — чётное число).
6) Повышенный уровень. Проведено 55 испытаний Бернулли с вероятностью успеха 0,50{,}5. Найдите вероятность того, что всего будет 33 успеха и первое испытание — успешное.