MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 11 класс
Урок 2 из 3
§ 2. Применение математического ожидания
(Глава 1. Математическое ожидание)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • находить средний выигрыш и справедливую цену
  • сравнивать решения по математическому ожиданию
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры, как применяется математическое ожидание случайной величины находить математическое ожидание по данному распределению. (В11.2)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Правильный кубик заменили правильным 1010-гранником, на гранях которого числа от 11 до 1010. Найдите математическое ожидание выпавшего числа.
  2. 2) Распределение случайной величины XX задано таблицей. Найдите её математическое ожидание.
    XX247
    PP0{,}30{,}50{,}2

3. Изучаем новый материал

В жизни

  • Ожидаемый выигрыш, прибыль, время — математическое ожидание.
  • Справедливая игра: ожидаемый выигрыш равен цене участия.
Обратите внимание: Выгоднее вариант с большим ожиданием (если риск не важен).

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: находить средний выигрыш и справедливую цену.
Выигрыш 500500 руб. с вероятностью 0,10{,}1: ожидание 5050 руб. — справедливая цена билета.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Выпущено 50005000 лотерейных билетов. Из них 11 выигрывают по 10001000 руб., 3030 выигрывают по 100100 руб., остальные без выигрыша. Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет (в рублях).
  1. Сумма всех выигрышей: 1000⋅11000 \cdot 1 + 100⋅30100 \cdot 30 =4000= 4000 руб.
  2. EX=40005000=0,8EX = \dfrac{4000}{5000} = 0{,}8 руб.
Ответ: 0,8.
1) Базовый уровень. Выпущено 10001000 лотерейных билетов. Из них 22 выигрывают по 50005000 руб., 1212 выигрывают по 500500 руб., остальные без выигрыша. Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет (в рублях).
2) Базовый уровень. В игре выигрыш 10001000 руб. выпадает с вероятностью 0,090{,}09, иначе игрок ничего не получает. При какой цене участия игра справедлива (ожидаемый выигрыш равен цене)?
3) Средний уровень. Первый вариант приносит 200200 руб. с вероятностью 0,70{,}7, второй — 200200 руб. с вероятностью 0,40{,}4 (иначе ничего). Какой вариант выгоднее в среднем? Запишите его номер.
Навык 2: сравнивать решения по математическому ожиданию.
Ожидаемая прибыль страховщика: цена полиса минус p⋅p \cdot выплата; сравниваем ожидания вариантов.
Время на выполнение: ≈13 мин
Образец решения
Время ожидания такси (в минутах) — случайная величина с распределением в таблице. Найдите среднее время ожидания.
XX45614
PP0{,}20{,}10{,}250{,}45
  1. Среднее время ожидания — математическое ожидание.
  2. EX=9,1EX = 9{,}1 мин.
Ответ: 9,1.
4) Средний уровень. Время ожидания такси (в минутах) — случайная величина с распределением в таблице. Найдите среднее время ожидания.
XX23710
PP0{,}250{,}20{,}50{,}05
5) Средний уровень. Магазин продаёт продлённую гарантию за 10001000 руб. С вероятностью 0,070{,}07 телефон сломается, и ремонт обойдётся магазину в 30003000 руб. Найдите средний доход магазина с одной гарантии.
6) Повышенный уровень. Колесо разделено на 2525 равных секторов. Игрок ставит 11 рубль на один сектор: при выигрыше получает ставку обратно и ещё 55 руб., иначе теряет ставку. Найдите ожидаемый выигрыш игрока.