MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 11 класс
Урок 2 из 2
§ 5. Ожидание и дисперсия геометрического и биномиального распределений
(Глава 2. Дисперсия случайной величины)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • применять формулы ожидания и дисперсии распределений
  • находить параметры распределения
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры, как применяется математическое ожидание случайной величины находить математическое ожидание по данному распределению. (В11.2)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Бинарная величина XX равна 11 с вероятностью 0,560{,}56 и 00 иначе. Найдите DXDX.
  2. 2) Найдите дисперсию случайной величины XX, заданной таблицей распределения.
    XX136
    PP0{,}150{,}70{,}15

3. Изучаем новый материал

Биномиальное

  • EX=npEX = np, DX=npqDX = npq.

Геометрическое

  • EX=1pEX = \dfrac1p, DX=qp2DX = \dfrac{q}{p^2}.
Обратите внимание: 100100 испытаний с p=0,2p = 0{,}2: EX=20EX = 20, σ=16=4\sigma = \sqrt{16} = 4.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: применять формулы ожидания и дисперсии распределений.
Тест из 2020 вопросов по 44 варианта: ожидаемое число угаданных 20⋅14=520 \cdot \dfrac14 = 5.
Время на выполнение: ≈9 мин
Образец решения
XX — число успехов в 2525 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха 0,50{,}5. Найдите EXEX.
  1. Для биномиального распределения EX=npEX = np.
  2. 25⋅0,5=12,525 \cdot 0{,}5 = 12{,}5.
Ответ: 12,5.
1) Базовый уровень. XX — число успехов в 5050 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха 0,10{,}1. Найдите EXEX.
2) Базовый уровень. XX — число успехов в 2020 испытаниях Бернулли, p=0,5p = 0{,}5. Найдите DXDX.
3) Базовый уровень. Стрелок стреляет до первого попадания, вероятность попадания 0,20{,}2. Найдите математическое ожидание числа выстрелов.
Навык 2: находить параметры распределения.
Из EX=npEX = np и DX=npqDX = npq: q=DXEXq = \dfrac{DX}{EX}, потом pp и nn.
Время на выполнение: ≈12 мин
Образец решения
Ожидаемое число бракованных деталей в партии равно 1313, каждая деталь бракована независимо с вероятностью 0,010{,}01. Сколько деталей в партии?
  1. EX=npEX = np.
  2. n=130,01=1300n = \dfrac{13}{0{,}01} = 1300.
Ответ: 1300.
4) Средний уровень. Ожидаемое число бракованных деталей в партии равно 1515, каждая деталь бракована независимо с вероятностью 0,010{,}01. Сколько деталей в партии?
5) Средний уровень. XX распределена биномиально с n=100n = 100 и EX=4EX = 4. Найдите вероятность успеха pp.
6) Средний уровень. В тесте 4040 вопросов, к каждому 55 вариантов ответа, один верный. Ученик отвечает наугад. Найдите математическое ожидание числа верных ответов.