MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 11 класс
Урок 1 из 3
§ 8. Непрерывные случайные величины. Равномерное распределение
(Глава 4. Непрерывные случайные величины)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • находить вероятности для равномерного распределения
  • решать задачи с несколькими равномерными величинами
Образовательные результаты (ФОП)
  • Иметь представление о нормальном распределении. (В11.4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Чтобы оценить средний вес яблок в партии, взвесили выборку: 200;148;144;183;177;199;201;180;187;168200; 148; 144; 183; 177; 199; 201; 180; 187; 168 г. Оцените средний вес яблока в партии.
  2. 2) В случайной выборке из 500500 покупателей магазина 3030 пользуются картой лояльности. Оцените, какой процент всех покупателей пользуется картой.

3. Изучаем новый материал

Равномерное на [a;b][a; b]

  • P(c≤X≤d)=d−cb−aP(c \le X \le d) = \dfrac{d - c}{b - a}.
  • EX=a+b2EX = \dfrac{a + b}{2}, DX=(b−a)212DX = \dfrac{(b - a)^2}{12}.
  • Вероятность одного значения равна 00.
Обратите внимание: Задача о встрече: вероятность — доля площади квадрата.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: находить вероятности для равномерного распределения.
Автобус каждые 1515 мин: ждать не больше 66 мин — 615=0,4\dfrac{6}{15} = 0{,}4.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Случайная величина XX равномерно распределена на отрезке [0;10][0; 10]. Найдите P(8≤X≤10)P(8 \le X \le 10).
  1. Для равномерного распределения вероятность пропорциональна длине отрезка.
  2. 10−810−0=0,2\dfrac{10 - 8}{10 - 0} = 0{,}2.
Ответ: 0,2.
1) Базовый уровень. Случайная величина XX равномерно распределена на отрезке [0;10][0; 10]. Найдите P(3≤X≤5)P(3 \le X \le 5).
2) Базовый уровень. Автобус ходит каждые 2525 минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент. Найдите вероятность того, что он будет ждать не больше 55 минут.
3) Средний уровень. XX равномерно распределена на отрезке [0;20][0; 20]. Найдите P(X=1)P(X = 1).
Навык 2: решать задачи с несколькими равномерными величинами.
Две независимые величины — точка в квадрате; оба меньше cc: (c−ab−a)2\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right)^2.
Время на выполнение: ≈14 мин
Образец решения
Длину отрезка измерили, результат случайно и равномерно распределён между 2727 см и 2828 см. Найдите вероятность того, что при округлении до целых получится 2828 см.
  1. Округлится до 2828, если результат не меньше 27,527{,}5.
  2. P=28−27,51=0,5P = \dfrac{28 - 27{,}5}{1} = 0{,}5.
Ответ: 0,5.
4) Средний уровень. Длину отрезка измерили, результат случайно и равномерно распределён между 99 см и 1010 см. Найдите вероятность того, что при округлении до целых получится 1010 см.
5) Повышенный уровень. Два числа независимо выбирают равномерно из отрезка [0;10][0; 10]. Найдите вероятность того, что оба окажутся меньше 44.
6) Повышенный уровень. Два числа независимо выбирают равномерно из отрезка [0;20][0; 20]. Найдите вероятность того, что большее из них больше 22.