MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 11 класс
Урок 3 из 3
§ 10. Нормальное распределение
(Глава 4. Непрерывные случайные величины)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • применять правило трёх сигм
  • решать задачи на хвосты и несимметричные интервалы
Образовательные результаты (ФОП)
  • Иметь представление о нормальном распределении. (В11.4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Случайная величина XX равномерно распределена на отрезке [0;10][0; 10]. Найдите P(8≤X≤10)P(8 \le X \le 10).
  2. 2) Плотность распределения XX постоянна на отрезке [4;24][4; 24] и равна нулю вне его. Найдите значение плотности на отрезке.

3. Изучаем новый материал

Нормальное распределение

  • Колоколообразная плотность, симметричная относительно μ\mu.
  • P(∣X−μ∣≤σ)≈0,6827P(|X - \mu| \le \sigma) \approx 0{,}6827, 2σ2\sigma — 0,95450{,}9545, 3σ3\sigma — 0,99730{,}9973.
Обратите внимание: Правый хвост за μ+2σ\mu + 2\sigma: 1−0,95452≈0,0228\dfrac{1 - 0{,}9545}{2} \approx 0{,}0228.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: применять правило трёх сигм.
Рост μ=175\mu = 175, σ=6\sigma = 6: от 163163 до 187187 см — это ±2σ\pm 2\sigma, вероятность 0,95450{,}9545.
Время на выполнение: ≈9 мин
Образец решения
Рост взрослых мужчин распределён нормально со средним 178178 см и стандартным отклонением 66 см. Найдите вероятность того, что рост случайного мужчины от 172172 до 184184 см (используйте 0,68270{,}6827, 0,95450{,}9545, 0,99730{,}9973 для 11, 22, 33 сигм).
  1. Границы отстоят от среднего на 66 см =1σ= 1\sigma.
  2. P(∣X−μ∣≤1σ)≈0,6827P(|X - \mu| \le 1\sigma) \approx 0{,}6827.
Ответ: 0,6827.
1) Базовый уровень. Рост взрослых мужчин распределён нормально со средним 175175 см и стандартным отклонением 55 см. Найдите вероятность того, что рост случайного мужчины от 165165 до 185185 см (используйте 0,68270{,}6827, 0,95450{,}9545, 0,99730{,}9973 для 11, 22, 33 сигм).
2) Базовый уровень. Масса пачки масла распределена нормально со средним 180180 г и стандартным отклонением 55 г. Найдите вероятность того, что масса пачки больше 180180 г.
3) Базовый уровень. Величина распределена нормально, μ=193\mu = 193, σ=15\sigma = 15. На сколько стандартных отклонений значение 238238 отстоит от среднего?
Навык 2: решать задачи на хвосты и несимметричные интервалы.
Интервал от μ−σ\mu - \sigma до μ+2σ\mu + 2\sigma — половины: 0,34135+0,477250{,}34135 + 0{,}47725.
Время на выполнение: ≈12 мин
Образец решения
Размер детали распределён нормально. Деталь бракуют, если размер отклоняется от среднего больше чем на 1σ1\sigma. Сколько бракованных деталей в среднем в партии из 10001000 штук (1σ1\sigma — 0,68270{,}6827, 2σ2\sigma — 0,95450{,}9545, 3σ3\sigma — 0,99730{,}9973)?
  1. Вероятность брака: 1−0,6827=0,31731 - 0{,}6827 = 0{,}3173.
  2. 1000⋅0,3173=317,31000 \cdot 0{,}3173 = 317{,}3.
Ответ: 317,3.
4) Средний уровень. Размер детали распределён нормально. Деталь бракуют, если размер отклоняется от среднего больше чем на 2σ2\sigma. Сколько бракованных деталей в среднем в партии из 1000010000 штук (1σ1\sigma — 0,68270{,}6827, 2σ2\sigma — 0,95450{,}9545, 3σ3\sigma — 0,99730{,}9973)?
5) Средний уровень. Величина распределена нормально. Известно, что P(X<19)=P(X>68)P(X < 19) = P(X > 68). Найдите математическое ожидание.
6) Средний уровень. Массы двух независимых грузов распределены нормально: средние 1111 и 2525 кг, дисперсии 1111 и 1414. Найдите дисперсию суммарной массы.