Вертикали умений

1Дроби и рациональные числа

запись, сравнение, действия с обыкновенными и десятичными дробями

1. 5 класс
   пунктов: 19

   • М5.1 Понимать и правильно употреблять термины, связанные с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями.
   • М5.2 Сравнивать и упорядочивать натуральные числа, сравнивать в простейших случаях обыкновенные дроби, десятичные дроби.
   • М5.4 Выполнять арифметические действия с натуральными числами, с обыкновенными дробями в простейших случаях.
   • М5.т28 Представление о дроби как способе записи части величины.
   • М5.т29 Обыкновенные дроби.
   • М5.т30 Правильные и неправильные дроби.
   • М5.т31 Смешанная дробь, представление смешанной дроби в виде неправильной дроби и выделение целой части числа из неправильной дроби.
   • М5.т32 Изображение дробей точками на числовой прямой.
   • М5.т33 Основное свойство дроби.
   • М5.т34 Сокращение дробей.
   • М5.т35 Приведение дроби к новому знаменателю.
   • М5.т36 Сравнение дробей.
   • М5.т37 Сложение и вычитание дробей.
   • М5.т38 Умножение и деление дробей, взаимно-обратные дроби.
   • М5.т40 Десятичная запись дробей.
   • М5.т41 Представление десятичной дроби в виде обыкновенной.
   • М5.т42 Изображение десятичных дробей точками на числовой прямой.
   • М5.т43 Сравнение десятичных дробей.
   • М5.т44 Арифметические действия с десятичными дробями.
2. 6 класс
   пунктов: 10

   • М6.1 Знать и понимать термины, связанные с различными видами чисел и способами их записи, переходить (если это возможно) от одной формы записи числа к другой.
   • М6.2 Сравнивать и упорядочивать целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, сравнивать числа одного и разных знаков.
   • М6.3 Выполнять, сочетая устные и письменные приемы, арифметические действия с натуральными и целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами.
   • М6.4 Вычислять значения числовых выражений, выполнять прикидку и оценку результата вычислений, выполнять преобразования числовых выражений на основе свойств арифметических действий.
   • М6.т8 Обыкновенная дробь, основное свойство дроби, сокращение дробей.
   • М6.т9 Сравнение и упорядочивание дробей.
   • М6.т11 Дробное число как результат деления.
   • М6.т12 Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и возможность представления обыкновенной дроби в виде десятичной.
   • М6.т13 Десятичные дроби и метрическая система мер.
   • М6.т14 Арифметические действия и числовые выражения с обыкновенными и десятичными дробями.
3. 7 класс
   пунктов: 7

   • А7.1 Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с рациональными числами.
   • А7.2 Находить значения числовых выражений, применять разнообразные способы и приёмы вычисления значений дробных выражений, содержащих обыкновенные и десятичные дроби.
   • А7.3 Переходить от одной формы записи чисел к другой (преобразовывать десятичную дробь в обыкновенную, обыкновенную в десятичную, в частности в бесконечную десятичную дробь).
   • А7.4 Сравнивать и упорядочивать рациональные числа.
   • А7.т1 Дроби обыкновенные и десятичные, переход от одной формы записи дробей к другой.
   • А7.т2 Понятие рационального числа, запись, сравнение, упорядочивание рациональных чисел.
   • А7.т3 Арифметические действия с рациональными числами.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 2

   • А9.2 Выполнять арифметические действия с рациональными числами, сочетая устные и письменные приёмы, выполнять вычисления с иррациональными числами.
   • А9.т1 Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные десятичные дроби.
6. 10 класс
   пунктов: 8

   • А10.1 Оперировать понятиями: рациональное и действительное число, обыкновенная и десятичная дробь, проценты.
   • А10.2 Выполнять арифметические операции с рациональными и действительными числами.
   • А10.т1 Рациональные числа.
   • А10.т2 Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби.
   • А10.т3 Арифметические операции с рациональными числами, преобразования числовых выражений.
   • А10у.1 Свободно оперировать понятиями: рациональное число, бесконечная периодическая дробь, проценты, иррациональное число, множества рациональных и действительных чисел, модуль действительного числа.
   • А10у.т1 Рациональные числа.
   • А10у.т2 Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 8, 20
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби

• Ступень ЕГЭ общая с вертикалью «Проценты, доли и пропорции»: в кодификаторе дроби и проценты — один элемент ЕЭ1.2.
• Общие коды ЕГЭ всей линии (ЕТ2) в подсчёт ступени ЕГЭ не входят.

2Проценты, доли и пропорции

часть от целого, три задачи на проценты, сложные проценты

1. 5 класс
   пунктов: 2

   • М5.т39 Нахождение части целого и целого по его части.
   • М5.т53 Решение основных задач на дроби.
2. 6 класс
   пунктов: 13

   • М6.10 Пользоваться масштабом, составлять пропорции и отношения.
   • М6.14 Решать задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, процентами, решать три основные задачи на дроби и проценты.
   • М6.т10 Решение задач на нахождение части от целого и целого по его части.
   • М6.т15 Отношение.
   • М6.т16 Деление в данном отношении.
   • М6.т17 Масштаб, пропорция.
   • М6.т18 Применение пропорций при решении задач.
   • М6.т19 Понятие процента.
   • М6.т20 Вычисление процента от величины и величины по ее проценту.
   • М6.т21 Выражение процентов десятичными дробями.
   • М6.т22 Решение задач на проценты.
   • М6.т23 Выражение отношения величин в процентах.
   • М6.т45 Решение задач, связанных с отношением, пропорциональностью величин, процентами; решение основных задач на дроби и проценты.
3. 7 класс
   пунктов: 5

   • А7.8 Решать практико-ориентированные задачи, связанные с отношением величин, пропорциональностью величин, процентами, интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных со свойствами рассматриваемых объектов.
   • А7.т4 Решение задач из реальной практики на части, на дроби.
   • А7.т6 Проценты, запись процентов в виде дроби и дроби в виде процентов.
   • А7.т7 Три основные задачи на проценты, решение задач из реальной практики.
   • А7.т9 Реальные зависимости, в том числе прямая и обратная пропорциональности.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • А9.т36 Сложные проценты.
6. 10 класс
   пунктов: 5

   • А10.т4 Применение дробей и процентов для решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
   • А10.т42 Формула сложных процентов.
   • А10у.2 Применять дроби и проценты для решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
   • А10у.т3 Применение дробей и процентов для решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
   • А10у.т79 Формула сложных процентов.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 11, 13, 17
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби

• Из другой линии: А9.т36 — из линии «Последовательности и прогрессии».
• Из другой линии: А10.т42 — из линии «Начала анализа».
• Ступень ЕГЭ общая с вертикалью «Дроби и рациональные числа»: в кодификаторе дроби и проценты — один элемент ЕЭ1.2.
• Общие коды ЕГЭ всей линии (ЕТ6) в подсчёт ступени ЕГЭ не входят.

3Действительные числа

иррациональные числа, координатная прямая, модуль

1. 5 класс
   пунктов: 2

   • М5.3 Соотносить точку на координатной (числовой) прямой с соответствующим ей числом и изображать натуральные числа точками на координатной (числовой) прямой.
   • М5.т4 Изображение натуральных чисел точками на координатной (числовой) прямой.
2. 6 класс
   пунктов: 8

   • М6.5 Соотносить точку на координатной прямой с соответствующим ей числом и изображать числа точками на координатной прямой, находить модуль числа.
   • М6.т24 Положительные и отрицательные числа.
   • М6.т25 Целые числа.
   • М6.т26 Модуль числа, геометрическая интерпретация модуля числа.
   • М6.т27 Изображение чисел на координатной прямой.
   • М6.т28 Числовые промежутки.
   • М6.т29 Сравнение чисел.
   • М6.т30 Арифметические действия с положительными и отрицательными числами.
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 4

   • А8.1 Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой.
   • А8.т2 Понятие об иррациональном числе.
   • А8.т3 Десятичные приближения иррациональных чисел.
   • А8.т5 Действительные числа.
5. 9 класс
   пунктов: 4

   • А9.1 Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа.
   • А9.т2 Множество действительных чисел, действительные числа как бесконечные десятичные дроби.
   • А9.т3 Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и координатной прямой.
   • А9.т4 Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами.
6. 10 класс
   пунктов: 7

   • А10.т5 Действительные числа.
   • А10.т6 Рациональные и иррациональные числа.
   • А10.т7 Арифметические операции с действительными числами.
   • А10у.т4 Действительные числа.
   • А10у.т5 Рациональные и иррациональные числа.
   • А10у.т6 Арифметические операции с действительными числами.
   • А10у.т7 Модуль действительного числа и его свойства.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 20
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.7 Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений

4Приближённые вычисления

округление, прикидка и оценка результата, точность

1. 5 класс
   пунктов: 5

   • М5.5 Выполнять проверку, прикидку результата вычислений.
   • М5.6 Округлять натуральные числа.
   • М5.т10 Округление натуральных чисел.
   • М5.т16 Проверка результата арифметического действия.
   • М5.т45 Округление десятичных дробей.
2. 6 класс
   пунктов: 4

   • М6.4 Вычислять значения числовых выражений, выполнять прикидку и оценку результата вычислений, выполнять преобразования числовых выражений на основе свойств арифметических действий.
   • М6.7 Округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел.
   • М6.т4 Округление натуральных чисел.
   • М6.т46 Оценка и прикидка, округление результата.
3. 7 класс
   пунктов: 2

   • А7.5 Округлять числа.
   • А7.6 Выполнять прикидку и оценку результата вычислений, оценку значений числовых выражений. Выполнять действия со степенями с натуральными показателями.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 5

   • А9.4 Округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений.
   • А9.т5 Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире.
   • А9.т6 Приближённое значение величины, точность приближения.
   • А9.т7 Округление чисел.
   • А9.т8 Прикидка и оценка результатов вычислений.
6. 10 класс
   пунктов: 4

   • А10.3 Выполнять приближенные вычисления, используя правила округления, делать прикидку и оценку результата вычислений.
   • А10.т8 Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений.
   • А10у.3 Применять приближенные вычисления, правила округления, прикидку и оценку результата вычислений.
   • А10у.т8 Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 10
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.7 Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений

5Степени

натуральный → целый → рациональный → действительный показатель, стандартная запись числа

1. 5 класс
   пунктов: 1

   • М5.т23 Степень с натуральным показателем.
2. 6 класс
   пунктов: 1

   • М6.8 Понимать и употреблять термины, связанные с записью степени числа, находить квадрат и куб числа, вычислять значения числовых выражений, содержащих степени.
3. 7 класс
   пунктов: 2

   • А7.6 Выполнять прикидку и оценку результата вычислений, оценку значений числовых выражений. Выполнять действия со степенями с натуральными показателями.
   • А7.т5 Степень с натуральным показателем: определение, преобразование выражений на основе определения, запись больших чисел.
4. 8 класс
   пунктов: 3

   • А8.3 Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10.
   • А8.т6 Степень с целым показателем и её свойства.
   • А8.т7 Стандартная запись числа.
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • А9.3 Находить значения степеней с целыми показателями и корней, вычислять значения числовых выражений.
6. 10 класс
   пунктов: 10

   • А10.4 Оперировать понятиями: степень с целым показателем, стандартная форма записи действительного числа, корень натуральной степени, использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
   • А10.т9 Степень с целым показателем.
   • А10.т10 Стандартная форма записи действительного числа.
   • А10.т11 Использование подходящей формы записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
   • А10у.4 Свободно оперировать понятием: степень с целым показателем, использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
   • А10у.6 Свободно оперировать понятием: степень с рациональным показателем.
   • А10у.т9 Степень с целым показателем.
   • А10у.т11 Использование подходящей формы записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
   • А10у.т13 Степень с рациональным показателем и ее свойства, степень с действительным показателем.
   • А10у.т10 Бином Ньютона.
7. 11 класс
   пунктов: 3

   • А11.2 Оперировать понятием: степень с рациональным показателем.
   • А11.т3 Степень с рациональным показателем.
   • А11.т4 Свойства степени.
8. ЕГЭ
   задание 8
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.4 Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

• Преобразования выражений со степенями (А7.15, А8.4 и далее) — вертикаль «Степенные, иррациональные и логарифмические выражения» линии «Выражения и преобразования».
• Из другой линии: А10у.т10 «Бином Ньютона» — также в вертикали «Комбинаторика» линии «Вероятность и статистика».
• Элемент ЕЭ1.8 «Преобразование выражений» — ступень ЕГЭ линии «Выражения и преобразования».

6Корни

квадратный корень → корень n-й степени, преобразования

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 3

   • А8.2 Применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней.
   • А8.т1 Квадратный корень из числа.
   • А8.т4 Свойства арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям.
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • А9.3 Находить значения степеней с целыми показателями и корней, вычислять значения числовых выражений.
6. 10 класс
   пунктов: 5

   • А10.4 Оперировать понятиями: степень с целым показателем, стандартная форма записи действительного числа, корень натуральной степени, использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
   • А10.т12 Арифметический корень натуральной степени.
   • А10.т13 Действия с арифметическими корнями натуральной степени.
   • А10у.5 Свободно оперировать понятием: арифметический корень натуральной степени.
   • А10у.т12 Арифметический корень натуральной степени и его свойства.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 8
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.3 Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени

• Элемент ЕЭ1.8 «Преобразование выражений» — ступень ЕГЭ линии «Выражения и преобразования».

7Логарифмы

определение, свойства, десятичные и натуральные логарифмы

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 4

   • А10у.7 Свободно оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы.
   • А10у.т14 Логарифм числа.
   • А10у.т15 Свойства логарифма.
   • А10у.т16 Десятичные и натуральные логарифмы.
7. 11 класс
   пунктов: 3

   • А11.3 Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы.
   • А11.т5 Логарифм числа.
   • А11.т6 Десятичные и натуральные логарифмы.
8. ЕГЭ
   задание 8
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.6 Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы

• На базовом уровне — 11 класс, на углублённом — 10.
• Элемент ЕЭ1.8 «Преобразование выражений» — ступень ЕГЭ линии «Выражения и преобразования».

8Синус, косинус, тангенс

от острого угла треугольника (геометрия) к числовому аргументу и арк-функциям

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 2

   • Г8.6 Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пользоваться этими понятиями для решения практических задач.
   • Г8.т20 Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • Г9.т1 Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°.
6. 10 класс
   пунктов: 7

   • А10.5 Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного угла, использовать запись произвольного угла через обратные тригонометрические функции.
   • А10.т14 Синус, косинус и тангенс числового аргумента.
   • А10.т15 Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента.
   • А10у.8 Свободно оперировать понятиями: синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента.
   • А10у.9 Оперировать понятиями: арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента.
   • А10у.т17 Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента.
   • А10у.т18 Арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 8, 14
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.5 Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента

• Из другой линии: Г8.6, Г8.т20, Г9.т1 — из курса геометрии.
• Первые ступени — из курса геометрии 8–9 классов (синус острого угла и углов до 180°).
• Элемент ЕЭ1.8 «Преобразование выражений» — ступень ЕГЭ линии «Выражения и преобразования».

9Натуральные и целые числа, делимость

системы счисления, действия с натуральными числами, делимость, НОД и НОК, остатки

1. 5 класс
   пунктов: 23

   • М5.4 Выполнять арифметические действия с натуральными числами, с обыкновенными дробями в простейших случаях.
   • М5.т1 Натуральное число.
   • М5.т2 Ряд натуральных чисел.
   • М5.т3 Число 0.
   • М5.т5 Позиционная система счисления.
   • М5.т6 Римская нумерация как пример непозиционной системы счисления.
   • М5.т7 Десятичная система счисления.
   • М5.т8 Сравнение натуральных чисел, сравнение натуральных чисел с нулем.
   • М5.т9 Способы сравнения.
   • М5.т11 Сложение натуральных чисел, свойство нуля при сложении.
   • М5.т12 Вычитание как действие, обратное сложению.
   • М5.т13 Умножение натуральных чисел, свойства нуля и единицы при умножении.
   • М5.т14 Деление как действие, обратное умножению.
   • М5.т15 Компоненты действий, связь между ними.
   • М5.т17 Переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения и умножения, распределительное свойство (закон) умножения.
   • М5.т19 Делители и кратные числа, разложение на множители.
   • М5.т20 Простые и составные числа.
   • М5.т21 Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9.
   • М5.т22 Деление с остатком.
   • М5.т24 Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.
   • М5.т25 Числовое выражение.
   • М5.т26 Вычисление значений числовых выражений, порядок выполнения действий.
   • М5.т27 Использование при вычислениях переместительного и сочетательного свойств (законов) сложения и умножения, распределительного свойства умножения.
2. 6 класс
   пунктов: 8

   • М6.9 Пользоваться признаками делимости, раскладывать натуральные числа на простые множители.
   • М6.3 Выполнять, сочетая устные и письменные приемы, арифметические действия с натуральными и целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами.
   • М6.т1 Арифметические действия с многозначными натуральными числами.
   • М6.т2 Числовые выражения, порядок действий, использование скобок.
   • М6.т3 Использование при вычислениях переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения, распределительного свойства умножения.
   • М6.т5 Делители и кратные числа, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
   • М6.т6 Делимость суммы и произведения.
   • М6.т7 Деление с остатком.
3. 7 класс
   пунктов: 2

   • А7.7 Применять признаки делимости, разложение на множители натуральных чисел.
   • А7.т8 Применение признаков делимости, разложение на множители натуральных чисел.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   пунктов: 7

   • А11.1 Оперировать понятиями: натуральное, целое число, использовать признаки делимости целых чисел, разложение числа на простые множители для решения задач.
   • А11.т1 Натуральные и целые числа.
   • А11.т2 Признаки делимости целых чисел.
   • А11у.1 Свободно оперировать понятиями: натуральное и целое число, множества натуральных и целых чисел, использовать признаки делимости целых чисел, НОД и НОК натуральных чисел для решения задач, применять алгоритм Евклида.
   • А11у.2 Свободно оперировать понятием остатка по модулю, записывать натуральные числа в различных позиционных системах счисления.
   • А11у.т1 Натуральные и целые числа.
   • А11у.т2 Применение признаков делимости целых чисел, наибольший общий делитель (далее – НОД) и наименьшее общее кратное (далее – НОК), остатков по модулю, алгоритма Евклида для решения задач в целых числах.
8. ЕГЭ
   задание 20
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.1 Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел

• В 7 классе — признаки делимости, затем линия прерывается до 11 класса.

10Комплексные числа

только углублённый уровень 11 класса

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   пунктов: 8

   • А11у.3 Свободно оперировать понятиями: комплексное число и множество комплексных чисел, представлять комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме, выполнять арифметические операции с ними и изображать на координатной плоскости.
   • А11у.т3 Комплексные числа.
   • А11у.т4 Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа.
   • А11у.т5 Арифметические операции с комплексными числами.
   • А11у.т6 Изображение комплексных чисел на координатной плоскости.
   • А11у.т7 Формула Муавра.
   • А11у.т8 Корни n-ой степени из комплексного числа.
   • А11у.т9 Применение комплексных чисел для решения физических и геометрических задач.
8. ЕГЭ
   отдельного задания нет
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.9 Комплексные числа

1Буквенные выражения и формулы

буквы вместо чисел, значение выражения, формулы, тождества

1. 5 класс
   пунктов: 1

   • М5.т18 Использование букв для обозначения неизвестного компонента и записи свойств арифметических действий.
2. 6 класс
   пунктов: 5

   • М6.11 Использовать буквы для обозначения чисел при записи математических выражений, составлять буквенные выражения и формулы, находить значения буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования.
   • М6.т34 Применение букв для записи математических выражений и предложений.
   • М6.т35 Свойства арифметических действий.
   • М6.т36 Буквенные выражения и числовые подстановки.
   • М6.т38 Формулы, формулы периметра и площади прямоугольника, квадрата, объема параллелепипеда и куба.
3. 7 класс
   пунктов: 7

   • А7.9 Использовать алгебраическую терминологию и символику, применять её в процессе освоения учебного материала.
   • А7.10 Находить значения буквенных выражений при заданных значениях переменных.
   • А7.т10 Переменные, числовое значение выражения с переменной.
   • А7.т11 Допустимые значения переменных.
   • А7.т12 Представление зависимости между величинами в виде формулы.
   • А7.т13 Вычисления по формулам.
   • А7.т14 Преобразование буквенных выражений, тождественно равные выражения, правила преобразования сумм и произведений, правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 2

   • А10.т16 Тождества и тождественные преобразования.
   • А10у.т19 Тождества и тождественные преобразования.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 8
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.8 Преобразование выражений

• В 8–9 классах отдельных пунктов нет: буквенные выражения работают внутри многочленов и дробей.
• Ступень ЕГЭ — элемент ЕЭ1.8 «Преобразование выражений», общий для всех вертикалей линии.

2Многочлены и разложение на множители

действия с многочленами, формулы сокращённого умножения, квадратный трёхчлен, теорема Безу

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 10

   • А7.11 Выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением подобных слагаемых, раскрытием скобок.
   • А7.12 Выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, применять формулы квадрата суммы и квадрата разности.
   • А7.13 Осуществлять разложение многочленов на множители с помощью вынесения за скобки общего множителя, группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения.
   • А7.14 Применять преобразования многочленов для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики.
   • А7.т16 Одночлены и многочлены.
   • А7.т17 Степень многочлена.
   • А7.т18 Сложение, вычитание, умножение многочленов.
   • А7.т19 Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности.
   • А7.т20 Формула разности квадратов.
   • А7.т21 Разложение многочленов на множители.
4. 8 класс
   пунктов: 3

   • А8.6 Раскладывать квадратный трёхчлен на множители.
   • А8.7 Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики.
   • А8.т8 Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители.
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • А9.т14 Примеры решения уравнений третьей и четвёртой степеней разложением на множители.
6. 10 класс
   пунктов: 6

   • А10у.12 Свободно оперировать понятиями: многочлен от одной переменной, многочлен с целыми коэффициентами, корни многочлена, применять деление многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и теорему Виета для решения задач.
   • А10у.т24 Многочлены от одной переменной.
   • А10у.т25 Деление многочлена на многочлен с остатком.
   • А10у.т26 Теорема Безу.
   • А10у.т27 Многочлены с целыми коэффициентами.
   • А10у.т28 Теорема Виета.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 8
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.8 Преобразование выражений

• Из другой линии: А9.т14 — уравнения 3–4 степени разложением на множители (линия «Уравнения и неравенства»).
• На ступени 10 — только углублённый уровень.
• Ступень ЕГЭ — элемент ЕЭ1.8 «Преобразование выражений», общий для всех вертикалей линии.

3Алгебраические дроби

основное свойство дроби, действия с дробями, рациональные выражения

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 5

   • А8.5 Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями.
   • А8.т9 Алгебраическая дробь.
   • А8.т10 Основное свойство алгебраической дроби.
   • А8.т11 Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей.
   • А8.т12 Рациональные выражения и их преобразование.
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 1

   • А10.8 Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных выражений и решать основные типы целых, рациональных и иррациональных уравнений и неравенств.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 8
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.8 Преобразование выражений

• В 9 классе отдельных пунктов нет: дроби используются в дробно-рациональных уравнениях.
• Ступень ЕГЭ — элемент ЕЭ1.8 «Преобразование выражений», общий для всех вертикалей линии.

4Степенные, иррациональные и логарифмические выражения

преобразования выражений со степенями, корнями и логарифмами

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 2

   • А7.15 Использовать свойства степеней с натуральными показателями для преобразования выражений.
   • А7.т15 Свойства степени с натуральным показателем.
4. 8 класс
   пунктов: 1

   • А8.4 Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем.
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 5

   • А10у.14 Использовать свойства действий с корнями для преобразования выражений.
   • А10у.15 Выполнять преобразования числовых выражений, содержащих степени с рациональным показателем.
   • А10у.16 Использовать свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений.
   • А10у.т29 Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни.
   • А10у.т34 Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
7. 11 класс
   пунктов: 4

   • А11.4 Применять свойства степени для преобразования выражений, оперировать понятиями: показательное уравнение и неравенство, решать основные типы показательных уравнений и неравенств.
   • А11.5 Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы, оперировать понятиями: логарифмическое уравнение и неравенство, решать основные типы логарифмических уравнений и неравенств.
   • А11.т7 Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
   • А11.т8 Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем.
8. ЕГЭ
   задание 8
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.8 Преобразование выражений

• Сами числа (степени, корни, логарифмы) — в линии «Числа и вычисления»; здесь — преобразования выражений с ними.
• Ступень ЕГЭ — элемент ЕЭ1.8 «Преобразование выражений», общий для всех вертикалей линии.

5Тригонометрические выражения

основное тождество, формулы приведения, тригонометрические формулы

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 1

   • Г8.т21 Основное тригонометрическое тождество.
5. 9 класс
   пунктов: 3

   • Г9.2 Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими величинами.
   • Г9.т2 Основное тригонометрическое тождество.
   • Г9.т3 Формулы приведения.
6. 10 класс
   пунктов: 6

   • А10.7 Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать тригонометрические уравнения.
   • А10.т17 Преобразование тригонометрических выражений.
   • А10.т18 Основные тригонометрические формулы.
   • А10у.18 Применять основные тригонометрические формулы для преобразования тригонометрических выражений.
   • А10у.т37 Основные тригонометрические формулы.
   • А10у.т38 Преобразование тригонометрических выражений.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 8, 14
   пунктов: 1

   • ЕЭ1.8 Преобразование выражений

• Первые ступени — из курса геометрии 8–9 классов (тождество и формулы приведения для углов треугольника).
• Ступень ЕГЭ — элемент ЕЭ1.8 «Преобразование выражений», общий для всех вертикалей линии.

1Уравнение и его корни, линейные уравнения

неизвестный компонент → линейное уравнение → равносильность и уравнения-следствия

1. 5 класс
   пунктов: 1

   • М5.т18 Использование букв для обозначения неизвестного компонента и записи свойств арифметических действий.
2. 6 класс
   пунктов: 2

   • М6.12 Находить неизвестный компонент равенства.
   • М6.т37 Буквенные равенства, нахождение неизвестного компонента.
3. 7 класс
   пунктов: 3

   • А7.16 Решать линейные уравнения с одной переменной, применяя правила перехода от исходного уравнения к равносильному ему. Проверять, является ли число корнем уравнения.
   • А7.т22 Уравнение, корень уравнения, правила преобразования уравнения, равносильность уравнений.
   • А7.т23 Линейное уравнение с одной переменной, число корней линейного уравнения, решение линейных уравнений.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 2

   • А9.т9 Линейное уравнение.
   • А9.т10 Решение уравнений, сводящихся к линейным.
6. 10 класс
   пунктов: 5

   • А10.6 Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, целое, рациональное, иррациональное уравнение, неравенство, тригонометрическое уравнение.
   • А10.т19 Уравнение, корень уравнения.
   • А10у.10 Свободно оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, равносильные уравнения и уравнения-следствия, равносильные неравенства.
   • А10у.т20 Уравнение, корень уравнения.
   • А10у.т21 Равносильные уравнения и уравнения-следствия.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 7
   пунктов: 1

   • ЕЭ2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения

2Квадратные, целые и дробно-рациональные уравнения

квадратное уравнение, теорема Виета, уравнения, сводящиеся к квадратным, дробные уравнения

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 5

   • А8.8 Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными.
   • А8.т13 Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения.
   • А8.т14 Теорема Виета.
   • А8.т15 Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным.
   • А8.т16 Простейшие дробно-рациональные уравнения.
5. 9 класс
   пунктов: 6

   • А9.5 Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, простейшие дробно-рациональные уравнения.
   • А9.т11 Квадратное уравнение.
   • А9.т12 Решение уравнений, сводящихся к квадратным.
   • А9.т13 Биквадратное уравнение.
   • А9.т14 Примеры решения уравнений третьей и четвёртой степеней разложением на множители.
   • А9.т15 Решение дробно-рациональных уравнений.
6. 10 класс
   пунктов: 6

   • А10.8 Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных выражений и решать основные типы целых, рациональных и иррациональных уравнений и неравенств.
   • А10.т22 Решение целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств.
   • А10у.11 Применять различные методы решения рациональных и дробно-рациональных уравнений, применять метод интервалов для решения неравенств.
   • А10у.т23 Основные методы решения целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств.
   • А10у.т26 Теорема Безу.
   • А10у.т28 Теорема Виета.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 7, 14
   пунктов: 1

   • ЕЭ2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения

3Системы уравнений

линейные системы → системы второй степени → системы и совокупности, матрицы

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 5

   • А7.18 Подбирать примеры пар чисел, являющихся решением линейного уравнения с двумя переменными.
   • А7.20 Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в том числе графически.
   • А7.т26 Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
   • А7.т27 Система двух линейных уравнений с двумя переменными.
   • А7.т28 Решение систем уравнений способом подстановки.
4. 8 класс
   пунктов: 2

   • А8.т17 Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и систем линейных уравнений с двумя переменными.
   • А8.т18 Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
5. 9 класс
   пунктов: 4

   • А9.6 Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным.
   • А9.т17 Уравнение с двумя переменными и его график.
   • А9.т18 Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
   • А9.т19 Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое – второй степени.
6. 10 класс
   пунктов: 5

   • А10у.13 Свободно оперировать понятиями: система линейных уравнений, матрица, определитель матрицы 2 × 2 и его геометрический смысл, использовать свойства определителя 2 × 2 для вычисления его значения, применять определители для решения системы линейных уравнений, моделировать реальные ситуации с помощью системы линейных уравнений, исследовать построенные модели с помощью матриц и определителей, интерпретировать полученный результат.
   • А10у.т40 Решение систем линейных уравнений.
   • А10у.т41 Матрица системы линейных уравнений.
   • А10у.т42 Определитель матрицы 2×2, его геометрический смысл и свойства, вычисление его значения, применение определителя для решения системы линейных уравнений.
   • А10у.т44 Исследование построенной модели с помощью матриц и определителей.
7. 11 класс
   пунктов: 8

   • А11.7 Оперировать понятиями: система линейных уравнений и ее решение, использовать систему линейных уравнений для решения практических задач.
   • А11.8 Находить решения простейших систем и совокупностей рациональных уравнений и неравенств.
   • А11.т12 Системы линейных уравнений.
   • А11.т14 Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств.
   • А11у.7 Свободно оперировать понятиями: система и совокупность уравнений и неравенств, равносильные системы и системы-следствия, находить решения системы и совокупностей рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
   • А11у.т10 Система и совокупность уравнений и неравенств.
   • А11у.т11 Равносильные системы и системы-следствия.
   • А11у.т17 Основные методы решения систем и совокупностей рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
8. ЕГЭ
   задания 7, 19
   пунктов: 2

   • ЕЭ2.9 Системы и совокупности уравнений и неравенств
   • ЕЭ2.11 Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы

• Графический способ решения систем — в вертикали «Графический метод» линии «Функции».

4Неравенства: линейные, квадратные, рациональные

числовые неравенства → линейные → квадратные → метод интервалов

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 6

   • А8.11 Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств.
   • А8.т20 Числовые неравенства и их свойства.
   • А8.т21 Неравенство с одной переменной.
   • А8.т22 Равносильность неравенств.
   • А8.т23 Линейные неравенства с одной переменной.
   • А8.т24 Системы линейных неравенств с одной переменной.
5. 9 класс
   пунктов: 7

   • А9.9 Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов.
   • А9.10 Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство, изображать решение системы неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов.
   • А9.11 Использовать неравенства при решении различных задач.
   • А9.т22 Числовые неравенства и их свойства.
   • А9.т23 Решение линейных неравенств с одной переменной.
   • А9.т24 Решение систем линейных неравенств с одной переменной.
   • А9.т25 Квадратные неравенства.
6. 10 класс
   пунктов: 4

   • А10.т20 Неравенство, решение неравенства.
   • А10.т21 Метод интервалов.
   • А10у.11 Применять различные методы решения рациональных и дробно-рациональных уравнений, применять метод интервалов для решения неравенств.
   • А10у.т22 Неравенство, решение неравенства.
7. 11 класс
   пунктов: 3

   • А11.8 Находить решения простейших систем и совокупностей рациональных уравнений и неравенств.
   • А11.т14 Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств.
   • А11у.т12 Равносильные неравенства.
8. ЕГЭ
   задание 16
   пунктов: 1

   • ЕЭ2.5 Целые и дробно-рациональные неравенства

• Метод интервалов в 10–11 классах — также в вертикали «Непрерывность и метод интервалов» линии «Начала анализа».

5Иррациональные уравнения и неравенства

уравнения с корнями, равносильные переходы и проверка корней

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 5

   • А10.8 Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных выражений и решать основные типы целых, рациональных и иррациональных уравнений и неравенств.
   • А10.т23 Решение иррациональных уравнений и неравенств.
   • А10у.17 Свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и логарифмические уравнения, находить их решения с помощью равносильных переходов или осуществляя проверку корней.
   • А10у.т30 Иррациональные уравнения.
   • А10у.т31 Основные методы решения иррациональных уравнений.
7. 11 класс
   пунктов: 2

   • А11у.4 Свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и логарифмические неравенства, находить их решения с помощью равносильных переходов.
   • А11у.т16 Основные методы решения иррациональных неравенств.
8. ЕГЭ
   задания 7, 14, 16
   пунктов: 2

   • ЕЭ2.2 Иррациональные уравнения
   • ЕЭ2.6 Иррациональные неравенства

6Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

простейшие уравнения → основные методы → неравенства

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 5

   • А10у.17 Свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и логарифмические уравнения, находить их решения с помощью равносильных переходов или осуществляя проверку корней.
   • А10у.т32 Показательные уравнения.
   • А10у.т33 Основные методы решения показательных уравнений.
   • А10у.т35 Логарифмические уравнения.
   • А10у.т36 Основные методы решения логарифмических уравнений.
7. 11 класс
   пунктов: 6

   • А11.4 Применять свойства степени для преобразования выражений, оперировать понятиями: показательное уравнение и неравенство, решать основные типы показательных уравнений и неравенств.
   • А11.5 Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы, оперировать понятиями: логарифмическое уравнение и неравенство, решать основные типы логарифмических уравнений и неравенств.
   • А11.т10 Показательные уравнения и неравенства.
   • А11.т11 Логарифмические уравнения и неравенства.
   • А11у.4 Свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и логарифмические неравенства, находить их решения с помощью равносильных переходов.
   • А11у.т15 Основные методы решения показательных и логарифмических неравенств.
8. ЕГЭ
   задания 7, 14, 16
   пунктов: 2

   • ЕЭ2.4 Показательные и логарифмические уравнения
   • ЕЭ2.7 Показательные и логарифмические неравенства

• На базовом уровне — 11 класс, на углублённом — 10 (как у логарифмов в линии «Числа и вычисления»).

7Тригонометрические уравнения и неравенства

простейшие уравнения → отбор корней на окружности → неравенства

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 4

   • А10.7 Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать тригонометрические уравнения.
   • А10.т24 Решение тригонометрических уравнений.
   • А10у.19 Свободно оперировать понятием: тригонометрическое уравнение, применять необходимые формулы для решения основных типов тригонометрических уравнений.
   • А10у.т39 Решение тригонометрических уравнений.
7. 11 класс
   пунктов: 6

   • А11.6 Находить решения простейших тригонометрических неравенств.
   • А11.т9 Примеры тригонометрических неравенств.
   • А11у.5 Осуществлять отбор корней при решении тригонометрического уравнения.
   • А11у.6 Свободно оперировать понятием тригонометрическое неравенство, применять необходимые формулы для решения основных типов тригонометрических неравенств.
   • А11у.т13 Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью тригонометрической окружности.
   • А11у.т14 Решение тригонометрических неравенств.
8. ЕГЭ
   задания 7, 14
   пунктов: 2

   • ЕЭ2.3 Тригонометрические уравнения
   • ЕЭ2.8 Тригонометрические неравенства

8Исследование уравнений и параметры

число корней, исследование уравнения → задачи с параметром

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 1

   • А8.9 Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее).
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • А9.8 Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее).
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   пунктов: 4

   • А11у.8 Решать рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства, содержащие модули и параметры.
   • А11у.9 Применять графические методы для решения уравнений и неравенств, а также задач с параметрами.
   • А11у.т18 Уравнения, неравенства и системы с параметрами.
   • А11у.т24 Графические методы решения задач с параметрами.
8. ЕГЭ
   задание 19
   пунктов: 1

   • ЕЭ2.10 Уравнения, неравенства и системы с параметрами

• На базовом уровне 10–11 классов задач с параметром нет — только углублённый уровень.

1Понятие функции и её свойства

зависимость → функция, область определения, нули, монотонность, чётность, периодичность

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 5

   • А7.25 Находить значение функции по значению её аргумента.
   • А7.т35 Примеры графиков, заданных формулами.
   • А7.т37 Понятие функции.
   • А7.т38 График функции.
   • А7.т39 Свойства функций.
4. 8 класс
   пунктов: 6

   • А8.12 Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по её графику.
   • А8.т25 Понятие функции.
   • А8.т26 Область определения и множество значений функции.
   • А8.т27 Способы задания функций.
   • А8.т28 График функции.
   • А8.т29 Чтение свойств функции по её графику.
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • А9.12 Распознавать функции изученных видов. Показывать схематически расположение на координатной плоскости графиков функций вида: y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = ax² + bx + c, y = x³, y = √x, y = |x| в зависимости от значений коэффициентов, описывать свойства функций.
6. 10 класс
   пунктов: 23

   • А10.11 Оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область определения и множество значений функции, график функции, взаимно обратные функции.
   • А10.12 Оперировать понятиями: четность и нечетность функции, нули функции, промежутки знакопостоянства.
   • А10.т26 Функция, способы задания функции.
   • А10.т27 График функции.
   • А10.т28 Взаимно обратные функции.
   • А10.т29 Область определения и множество значений функции.
   • А10.т30 Нули функции.
   • А10.т31 Промежутки знакопостоянства.
   • А10.т32 Четные и нечетные функции.
   • А10у.21 Свободно оперировать понятиями: функция, способы задания функции, взаимно обратные функции, композиция функций, график функции, выполнять элементарные преобразования графиков функций.
   • А10у.22 Свободно оперировать понятиями: область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства.
   • А10у.23 Свободно оперировать понятиями: четные и нечетные функции, периодические функции, промежутки монотонности функции, максимумы и минимумы функции, наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
   • А10у.т47 Функция, способы задания функции.
   • А10у.т48 Взаимно обратные функции.
   • А10у.т49 Композиция функций.
   • А10у.т50 График функции.
   • А10у.т52 Область определения и множество значений функции.
   • А10у.т53 Нули функции.
   • А10у.т54 Промежутки знакопостоянства.
   • А10у.т55 Четные и нечетные функции.
   • А10у.т56 Периодические функции.
   • А10у.т57 Промежутки монотонности функции.
   • А10у.т58 Максимумы и минимумы функции.
7. 11 класс
   пунктов: 5

   • А11.10 Оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки монотонности функции, точки экстремума функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, использовать их для исследования функции, заданной графиком.
   • А11.т16 Функция.
   • А11.т17 Периодические функции.
   • А11.т18 Промежутки монотонности функции.
   • А11.т19 Максимумы и минимумы функции.
8. ЕГЭ
   задания 9, 12
   пунктов: 2

   • ЕЭ3.1 Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции
   • ЕЭ3.2 Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

2Элементарные функции и их графики

линейная → обратная пропорциональность, y = x², √x, |x| → квадратичная → степенная, преобразования графиков

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 3

   • А7.23 Отмечать в координатной плоскости точки по заданным координатам, строить графики линейных функций. Строить график функции y = |x|.
   • А7.т40 Линейная функция, её график.
   • А7.т41 График функции y = |x|.
4. 8 класс
   пунктов: 3

   • А8.13 Строить графики элементарных функций вида: y = k/x, y = x², y = x³, y = √x, y = |x|, описывать свойства числовой функции по её графику.
   • А8.т31 Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики.
   • А8.т32 Функции y = x², y = x³, y = √x, y = |x|.
5. 9 класс
   пунктов: 5

   • А9.13 Строить и изображать схематически графики квадратичных функций, описывать свойства квадратичных функций по их графикам.
   • А9.14 Распознавать квадратичную функцию по формуле, приводить примеры квадратичных функций из реальной жизни, физики, геометрии.
   • А9.т27 Квадратичная функция, её график и свойства.
   • А9.т28 Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы.
   • А9.т29 Графики функций: y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x³, y = √x, y = |x|, и их свойства.
6. 10 класс
   пунктов: 13

   • А10.14 Строить и читать графики линейной функции, квадратичной функции, степенной функции с целым показателем.
   • А10.т33 Степенная функция с натуральным и целым показателем.
   • А10.т34 Ее свойства и график.
   • А10.т35 Свойства и график корня n-ой степени.
   • А10у.24 Свободно оперировать понятиями: степенная функция с натуральным и целым показателем, график степенной функции с натуральным и целым показателем, график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем.
   • А10у.25 Оперировать понятиями: линейная, квадратичная и дробно-линейная функции, выполнять элементарное исследование и построение их графиков.
   • А10у.т51 Элементарные преобразования графиков функций.
   • А10у.т59 Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
   • А10у.т60 Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции.
   • А10у.т61 Элементарное исследование и построение их графиков.
   • А10у.т62 Степенная функция с натуральным и целым показателем.
   • А10у.т63 Ее свойства и график.
   • А10у.т64 Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем.
7. 11 класс
   пунктов: 3

   • А11.11 Оперировать понятиями: графики показательной, логарифмической и тригонометрических функций, изображать их на координатной плоскости и использовать для решения уравнений и неравенств.
   • А11у.11 Строить графики композиции функций с помощью элементарного исследования и свойств композиции двух функций.
   • А11у.т20 График композиции функций.
8. ЕГЭ
   задание 12
   пунктов: 1

   • ЕЭ3.3 Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени

3Тригонометрические функции

тригонометрическая окружность → функции числового аргумента → свойства и графики

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 3

   • А10.т36 Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента.
   • А10у.27 Свободно оперировать понятиями: тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента.
   • А10у.т67 Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента.
7. 11 класс
   пунктов: 3

   • А11.т21 Тригонометрические функции, их свойства и графики.
   • А11у.13 Свободно оперировать понятиями: графики тригонометрических функций.
   • А11у.т22 Тригонометрические функции, их свойства и графики.
8. ЕГЭ
   задание 12
   пунктов: 1

   • ЕЭ3.4 Тригонометрические функции, их свойства и графики

• А11.11 (графики тригонометрических, показательной и логарифмической функций сразу) — в вертикали «Элементарные функции и их графики».
• Тригонометрическая окружность и значения функций — также в вертикали «Тригонометрия» линии «Числа и вычисления».

4Показательная и логарифмическая функции

свойства и графики, монотонность как основа решения уравнений

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 2

   • А10у.26 Свободно оперировать понятиями: показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики, использовать их графики для решения уравнений.
   • А10у.т65 Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
7. 11 класс
   пунктов: 1

   • А11.т22 Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
8. ЕГЭ
   задание 12
   пунктов: 1

   • ЕЭ3.5 Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики

5Графический метод

график уравнения с двумя переменными → графическое решение уравнений и систем → параметры

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 3

   • А7.17 Применять графические методы при решении линейных уравнений и их систем.
   • А7.19 Строить в координатной плоскости график линейного уравнения с двумя переменными, пользуясь графиком, приводить примеры решения уравнения.
   • А7.т42 Графическое решение линейных уравнений и систем линейных уравнений.
4. 8 класс
   пунктов: 2

   • А8.т17 Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и систем линейных уравнений с двумя переменными.
   • А8.т33 Графическое решение уравнений и систем уравнений.
5. 9 класс
   пунктов: 2

   • А9.т20 Графическая интерпретация системы уравнений с двумя переменными.
   • А9.т26 Графическая интерпретация неравенств и систем неравенств с двумя переменными.
6. 10 класс
   пунктов: 2

   • А10.13 Использовать графики функций для решения уравнений.
   • А10у.т66 Использование графиков функций для решения уравнений.
7. 11 класс
   пунктов: 6

   • А11.12 Изображать на координатной плоскости графики линейных уравнений и использовать их для решения системы линейных уравнений.
   • А11.т23 Использование графиков функций для решения уравнений и линейных систем.
   • А11у.12 Строить геометрические образы уравнений и неравенств на координатной плоскости.
   • А11у.т21 Геометрические образы уравнений и неравенств на координатной плоскости.
   • А11у.т23 Графические методы решения уравнений и неравенств.
   • А11у.т24 Графические методы решения задач с параметрами.
8. ЕГЭ
   задания 12, 19
   пунктов: 1

   • ЕЭ2.10 Уравнения, неравенства и системы с параметрами

• В кодификаторе ЕГЭ графический метод — приём, а не отдельный элемент; ступень ЕГЭ — задачи с параметром (ЕЭ2.10).

6Функции как модели реальных процессов

чтение графиков реальных зависимостей → формулы зависимостей → исследование моделей

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 3

   • А7.24 Описывать с помощью функций известные зависимости между величинами: скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость, производительность, время, объём работы.
   • А7.26 Понимать графический способ представления и анализа информации, извлекать и интерпретировать информацию из графиков реальных процессов и зависимостей.
   • А7.т36 Чтение графиков реальных зависимостей.
4. 8 класс
   пунктов: 1

   • А8.т30 Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы.
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • А9.т35 Линейный и экспоненциальный рост.
6. 10 класс
   пунктов: 4

   • А10.15 Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни, выражать формулами зависимости между величинами.
   • А10у.28 Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни, выражать формулами зависимости между величинами.
   • А10у.т68 Функциональные зависимости в реальных процессах и явлениях.
   • А10у.т69 Графики реальных зависимостей.
7. 11 класс
   пунктов: 4

   • А11.13 Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей из других учебных дисциплин.
   • А11.т24 Использование графиков функций для исследования процессов и зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни.
   • А11у.14 Применять функции для моделирования и исследования реальных процессов.
   • А11у.т25 Использование графиков функций для исследования процессов и зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни.
8. ЕГЭ
   задание 10
   пунктов: 1

   • ЕЭ3.1 Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции

• В кодификаторе прикладные задачи размечены элементами уравнений ЕЭ2.

1Последовательности

способы задания, рекуррентная формула, монотонность, метод математической индукции

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 3

   • А9.17 Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
   • А9.т30 Понятие числовой последовательности.
   • А9.т31 Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.
6. 10 класс
   пунктов: 8

   • А10.16 Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии.
   • А10.18 Задавать последовательности различными способами.
   • А10.т37 Последовательности, способы задания последовательностей.
   • А10.т38 Монотонные последовательности.
   • А10у.31 Свободно оперировать понятиями: последовательность, способы задания последовательностей, монотонные и ограниченные последовательности, понимать основы зарождения математического анализа как анализа бесконечно малых.
   • А10у.т70 Последовательности, способы задания последовательностей.
   • А10у.т71 Метод математической индукции.
   • А10у.т72 Монотонные и ограниченные последовательности.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 20
   пунктов: 1

   • ЕЭ3.7 Последовательности, способы задания последовательностей

2Арифметическая и геометрическая прогрессии

формулы n-го члена и суммы → бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 5

   • А9.15 Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания.
   • А9.16 Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
   • А9.т32 Арифметическая и геометрическая прогрессии.
   • А9.т33 Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
   • А9.т34 Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками на координатной плоскости.
6. 10 класс
   пунктов: 9

   • А10.16 Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии.
   • А10.17 Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
   • А10.т39 Арифметическая и геометрическая прогрессии.
   • А10.т40 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
   • А10.т41 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
   • А10у.29 Свободно оперировать понятиями: арифметическая и геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, линейный и экспоненциальный рост, формула сложных процентов, иметь представление о константе.
   • А10у.т74 Арифметическая и геометрическая прогрессии.
   • А10у.т75 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
   • А10у.т76 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 13, 17, 20
   пунктов: 1

   • ЕЭ3.8 Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов

3Рост и сложные проценты

линейный и экспоненциальный рост, формула сложных процентов, кредиты и вклады

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 3

   • А9.18 Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых технологий).
   • А9.т35 Линейный и экспоненциальный рост.
   • А9.т36 Сложные проценты.
6. 10 класс
   пунктов: 8

   • А10.19 Использовать свойства последовательностей и прогрессий для решения реальных задач прикладного характера.
   • А10.т42 Формула сложных процентов.
   • А10.т43 Использование прогрессии для решения реальных задач прикладного характера.
   • А10у.30 Использовать прогрессии для решения реальных задач прикладного характера.
   • А10у.т77 Линейный и экспоненциальный рост.
   • А10у.т78 Число е.
   • А10у.т79 Формула сложных процентов.
   • А10у.т80 Использование прогрессии для решения реальных задач прикладного характера.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 13, 17
   пунктов: 1

   • ЕЭ3.8 Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов

• Финансовая математика ЕГЭ: задание 13 (часть 1) и экономическая задача 17 (часть 2).
• А9.т36 и А10.т42 — также в вертикали «Проценты, доли и пропорции» линии «Числа и вычисления».

1Непрерывность и метод интервалов

непрерывные функции, точки разрыва, асимптоты, метод интервалов

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 8

   • А10у.32 Свободно оперировать понятиями: непрерывные функции, точки разрыва графика функции, асимптоты графика функции.
   • А10у.33 Свободно оперировать понятием: функция, непрерывная на отрезке, применять свойства непрерывных функций для решения задач.
   • А10у.т81 Непрерывные функции и их свойства.
   • А10у.т82 Точки разрыва.
   • А10у.т83 Асимптоты графиков функций.
   • А10у.т84 Свойства функций непрерывных на отрезке.
   • А10у.т85 Метод интервалов для решения неравенств.
   • А10у.т86 Применение свойств непрерывных функций для решения задач.
7. 11 класс
   пунктов: 2

   • А11.т25 Непрерывные функции.
   • А11.т26 Метод интервалов для решения неравенств.
8. ЕГЭ
   задание 16
   пунктов: 1

   • ЕЭ3.6 Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке

2Производная

определение, геометрический и физический смысл, правила дифференцирования, касательная

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 9

   • А10у.34 Свободно оперировать понятиями: первая и вторая производные функции, касательная к графику функции.
   • А10у.35 Вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции двух функций, знать производные элементарных функций.
   • А10у.36 Использовать геометрический и физический смысл производной для решения задач.
   • А10у.т73 История возникновения математического анализа как анализа бесконечно малых.
   • А10у.т87 Первая и вторая производные функции.
   • А10у.т88 Определение, геометрический и физический смысл производной.
   • А10у.т89 Уравнение касательной к графику функции.
   • А10у.т90 Производные элементарных функций.
   • А10у.т91 Производная суммы, произведения, частного и композиции функций.
7. 11 класс
   пунктов: 6

   • А11.14 Оперировать понятиями: непрерывная функция, производная функции, использовать геометрический и физический смысл производной для решения задач.
   • А11.15 Находить производные элементарных функций, вычислять производные суммы, произведения, частного функций.
   • А11.т27 Производная функции.
   • А11.т28 Геометрический и физический смысл производной.
   • А11.т29 Производные элементарных функций.
   • А11.т30 Формулы нахождения производной суммы, произведения и частного функций.
8. ЕГЭ
   задание 9
   пунктов: 1

   • ЕЭ4.1 Производная функции. Производные элементарных функций

• На базовом уровне — 11 класс, на углублённом — 10.

3Исследование функции с помощью производной

монотонность и экстремумы, наибольшее и наименьшее значения на отрезке

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   пунктов: 8

   • А11.16 Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к построению графиков.
   • А11.т31 Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы.
   • А11.т32 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
   • А11.т20 Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
   • А11у.15 Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы.
   • А11у.16 Находить наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной на отрезке.
   • А11у.т26 Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы.
   • А11у.т27 Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.
8. ЕГЭ
   задание 9
   пунктов: 1

   • ЕЭ4.2 Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

4Оптимизация в прикладных задачах

наилучшее решение, скорость и ускорение процессов

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   пунктов: 4

   • А11.17 Использовать производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах.
   • А11.т33 Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах, для определения скорости процесса, заданного формулой или графиком.
   • А11у.17 Использовать производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах, для определения скорости и ускорения процесса, заданного формулой или графиком.
   • А11у.т28 Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах, для определения скорости и ускорения процесса, заданного формулой или графиком.
8. ЕГЭ
   задание 17
   пунктов: 1

   • ЕЭ4.2 Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

5Первообразная и интеграл

первообразная, формула Ньютона–Лейбница, площади и объёмы, дифференциальные уравнения

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   пунктов: 20

   • А11.18 Оперировать понятиями: первообразная и интеграл, понимать геометрический и физический смысл интеграла.
   • А11.19 Находить первообразные элементарных функций, вычислять интеграл по формуле Ньютона–Лейбница.
   • А11.20 Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, средствами математического анализа.
   • А11.т34 Первообразная.
   • А11.т35 Таблица первообразных.
   • А11.т36 Интеграл, его геометрический и физический смысл.
   • А11.т37 Вычисление интеграла по формуле Ньютона–Лейбница.
   • А11у.18 Свободно оперировать понятиями: первообразная, определенный интеграл, находить первообразные элементарных функций и вычислять интеграл по формуле Ньютона–Лейбница.
   • А11у.19 Находить площади плоских фигур и объемы тел с помощью интеграла.
   • А11у.20 Иметь представление о математическом моделировании на примере составления дифференциальных уравнений.
   • А11у.21 Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, средствами математического анализа.
   • А11у.т29 Первообразная, основное свойство первообразных.
   • А11у.т30 Первообразные элементарных функций.
   • А11у.т31 Правила нахождения первообразных.
   • А11у.т32 Интеграл.
   • А11у.т33 Геометрический смысл интеграла.
   • А11у.т34 Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница.
   • А11у.т35 Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур и объемов геометрических тел.
   • А11у.т36 Примеры решений дифференциальных уравнений.
   • А11у.т37 Математическое моделирование реальных процессов с помощью дифференциальных уравнений.
8. ЕГЭ
   задание 9
   пунктов: 1

   • ЕЭ4.3 Первообразная. Интеграл

1Множества

множество и подмножество, операции, диаграммы Эйлера–Венна

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 6

   • В8.6 Оперировать понятиями: множество, подмножество, выполнять операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, перечислять элементы множеств, применять свойства множеств.
   • В8.7 Использовать графическое представление множеств и связей между ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач из других учебных предметов и курсов.
   • В8.т2 Множество, элемент множества, подмножество.
   • В8.т3 Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение.
   • В8.т4 Свойства операций над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения.
   • В8.т5 Использование графического представления множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач.
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 10

   • А10.20 Оперировать понятиями: множество, операции над множествами.
   • А10.21 Использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
   • А10.т44 Множество, операции над множествами.
   • А10.т45 Диаграммы Эйлера–Венна.
   • А10.т46 Применение теоретико-множественного аппарата для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
   • А10у.37 Свободно оперировать понятиями: множество, операции над множествами.
   • А10у.38 Использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
   • А10у.т92 Множество, операции над множествами и их свойства.
   • А10у.т93 Диаграммы Эйлера– Венна.
   • А10у.т94 Применение теоретико-множественного аппарата для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 20
   пунктов: 1

   • ЕЭ5.1 Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна

• В 8 классе — курс «Вероятность и статистика».

2Логика и доказательство

логические задачи → рассуждения с теоремами → определение, теорема, следствие, равносильность

1. 5 класс
   пунктов: 1

   • М5.т47 Решение логических задач.
2. 6 класс
   пунктов: 1

   • М6.т40 Решение логических задач.
3. 7 класс
   пунктов: 1

   • Г7.5 Проводить логические рассуждения с использованием геометрических теорем.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 4

   • А10.22 Оперировать понятиями: определение, теорема, следствие, доказательство.
   • А10.т47 Определение, теорема, следствие, доказательство.
   • А10у.39 Свободно оперировать понятиями: определение, теорема, уравнение-следствие, свойство математического объекта, доказательство, равносильные уравнения и неравенства.
   • А10у.т95 Определение, теорема, свойство математического объекта, следствие, доказательство, равносильные уравнения.
7. 11 класс
   пунктов: 1

   • Г11у.18 Доказывать геометрические утверждения.
8. ЕГЭ
   задание 20
   пунктов: 1

   • ЕЭ5.2 Логика

• 7 и 11 классы — из курса геометрии (логические рассуждения, доказательство утверждений).

1Арифметический способ решения

краткая запись, схемы и таблицы, многошаговые задачи

1. 5 класс
   пунктов: 4

   • М5.7 Решать текстовые задачи арифметическим способом и с помощью организованного конечного перебора всех возможных вариантов.
   • М5.9 Использовать краткие записи, схемы, таблицы, обозначения при решении задач.
   • М5.т46 Решение текстовых задач арифметическим способом.
   • М5.т49 Использование при решении задач таблиц и схем.
2. 6 класс
   пунктов: 2

   • М6.13 Решать многошаговые текстовые задачи арифметическим способом.
   • М6.т39 Решение текстовых задач арифметическим способом.
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   нет в программе

• С 7 класса задачи решаются алгебраически — вертикаль «Составление уравнений».

2Величины и зависимости

скорость–время–расстояние, цена–количество–стоимость, работа; единицы измерения

1. 5 класс
   пунктов: 5

   • М5.8 Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины: скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость.
   • М5.10 Пользоваться основными единицами измерения: цены, массы, расстояния, времени, скорости, выражать одни единицы величины через другие.
   • М5.т50 Решение задач, содержащих зависимости, связывающие величины: скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость.
   • М5.т51 Единицы измерения: массы, объема, цены, расстояния, времени, скорости.
   • М5.т52 Связь между единицами измерения каждой величины.
2. 6 класс
   пунктов: 4

   • М6.15 Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины: скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость, производительность, время, объема работы, используя арифметические действия, оценку, прикидку, пользоваться единицами измерения соответствующих величин.
   • М6.т42 Решение задач, содержащих зависимости, связывающих величины: скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость, производительность, время, объем работы.
   • М6.т43 Единицы измерения: массы, стоимости, расстояния, времени, скорости.
   • М6.т44 Связь между единицами измерения каждой величины.
3. 7 класс
   пунктов: 1

   • А7.24 Описывать с помощью функций известные зависимости между величинами: скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость, производительность, время, объём работы.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 1

   • А10.10 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
7. 11 класс
   пунктов: 1

   • А11.9 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства и системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
8. ЕГЭ
   задание 11
   пунктов: 1

   • ЕЭ2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения

• А7.24 — также в вертикали «Функции как модели» линии «Функции».
• В кодификаторе текстовые задачи размечены уравнениями (ЕЭ2.1).

3Составление уравнений и систем по условию

буквенное выражение по условию → уравнение → система → модели на языке алгебры

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   пунктов: 2

   • М6.16 Составлять буквенные выражения по условию задачи.
   • М6.т47 Составление буквенных выражений по условию задачи.
3. 7 класс
   пунктов: 4

   • А7.21 Составлять и решать линейное уравнение или систему линейных уравнений по условию задачи, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
   • А7.т24 Составление уравнений по условию задачи.
   • А7.т25 Решение текстовых задач с помощью уравнений.
   • А7.т29 Примеры решения текстовых задач с помощью систем уравнений.
4. 8 класс
   пунктов: 2

   • А8.10 Переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
   • А8.т19 Решение текстовых задач алгебраическим способом.
5. 9 класс
   пунктов: 3

   • А9.7 Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнения или системы двух уравнений с двумя переменными.
   • А9.т16 Решение текстовых задач алгебраическим методом.
   • А9.т21 Решение текстовых задач алгебраическим способом.
6. 10 класс
   пунктов: 7

   • А10.9 Применять уравнения и неравенства для решения математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
   • А10.10 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
   • А10.т25 Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
   • А10у.20 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
   • А10у.т43 Решение прикладных задач с помощью системы линейных уравнений.
   • А10у.т45 Построение математических моделей реальной ситуации с помощью уравнений и неравенств.
   • А10у.т46 Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
7. 11 класс
   пунктов: 5

   • А11.9 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства и системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
   • А11.т13 Решение прикладных задач с помощью системы линейных уравнений.
   • А11.т15 Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
   • А11у.10 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат.
   • А11у.т19 Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни, интерпретация полученных результатов.
8. ЕГЭ
   задания 10, 11
   пунктов: 1

   • ЕЭ2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения

1Таблицы и диаграммы

чтение и построение таблиц, столбчатых и круговых диаграмм, графиков

1. 5 класс
   пунктов: 2

   • М5.11 Извлекать, анализировать, оценивать информацию, представленную в таблице, на столбчатой диаграмме, интерпретировать представленные данные, использовать данные при решении задач.
   • М5.т54 Представление данных в виде таблиц, столбчатых диаграмм.
2. 6 класс
   пунктов: 5

   • М6.17 Извлекать информацию, представленную в таблицах, на линейной, столбчатой или круговой диаграммах, интерпретировать представленные данные, использовать данные при решении задач.
   • М6.18 Представлять информацию с помощью таблиц, линейной и столбчатой диаграмм.
   • М6.т48 Представление данных с помощью таблиц и диаграмм.
   • М6.т49 Столбчатые диаграммы: чтение и построение.
   • М6.т50 Чтение круговых диаграмм.
3. 7 класс
   пунктов: 6

   • В7.1 Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые (столбчатые) и круговые) по массивам значений.
   • В7.2 Описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
   • В7.т1 Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
   • В7.т2 Заполнение таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и круговых).
   • В7.т3 Чтение графиков реальных процессов.
   • В7.т4 Извлечение информации из диаграмм и таблиц, использование и интерпретация данных.
4. 8 класс
   пунктов: 2

   • В8.1 Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
   • В8.т1 Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
5. 9 класс
   пунктов: 3

   • В9.1 Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
   • В9.т1 Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация данных.
   • В9.т2 Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным данным.
6. 10 класс
   пунктов: 2

   • В10.1 Читать и строить таблицы и диаграммы.
   • В10.т1 Представление данных с помощью таблиц и диаграмм.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   отдельного задания нет
   пунктов: 1

   • ЕЭ6.1 Описательная статистика

2Описательная статистика

среднее, медиана, размах → дисперсия и стандартное отклонение → выборки и корреляция

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 4

   • В7.3 Использовать для описания данных статистические характеристики: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах.
   • В7.4 Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен, физических величин, антропометрических данных, иметь представление о статистической устойчивости.
   • В7.т5 Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах, наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных.
   • В7.т6 Примеры случайной изменчивости.
4. 8 класс
   пунктов: 4

   • В8.2 Описывать данные с помощью статистических показателей: средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение).
   • В8.т6 Измерение рассеивания данных.
   • В8.т7 Дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов.
   • В8.т8 Диаграмма рассеивания.
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • В9.3 Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том числе средние значения и меры рассеивания.
6. 10 класс
   пунктов: 2

   • В10.2 Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее, наименьшее значение, размах массива числовых данных.
   • В10.т2 Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов.
7. 11 класс
   пунктов: 13

   • В11.т7 Выборочный метод исследований.
   • В11у.1 Вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать характеристики генеральной совокупности данных по выборочным характеристикам. Оценивать вероятности событий и проверять простейшие статистические гипотезы, пользуясь изученными распределениями.
   • В11у.3 Определять коэффициент линейной корреляции, выборочный коэффициент корреляции.
   • В11у.т5 Выборочный метод исследований.
   • В11у.т6 Выборочные характеристики.
   • В11у.т7 Оценивание вероятности события по выборочным данным.
   • В11у.т8 Проверка простейших гипотез с помощью изученных распределений.
   • В11у.т19 Ковариация двух случайных величин.
   • В11у.т20 Коэффициент линейной корреляции.
   • В11у.т21 Совместные наблюдения двух величин.
   • В11у.т22 Выборочный коэффициент корреляции.
   • В11у.т23 Различие между линейной связью и причинно-следственной связью.
   • В11у.т24 Линейная регрессия, метод наименьших квадратов.
8. ЕГЭ
   задание 6
   пунктов: 1

   • ЕЭ6.1 Описательная статистика

3Случайные события и вероятность

случайный опыт, равновозможные исходы, частота, геометрическая вероятность

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 4

   • В7.т7 Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие.
   • В7.т8 Вероятность и частота.
   • В7.т9 Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе и в обществе.
   • В7.т10 Монета и игральная кость в теории вероятностей.
4. 8 класс
   пунктов: 7

   • В8.3 Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по результатам измерений и наблюдений.
   • В8.4 Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями.
   • В8.т9 Элементарные события случайного опыта.
   • В8.т10 Случайные события.
   • В8.т11 Вероятности событий.
   • В8.т12 Опыты с равновозможными элементарными событиями.
   • В8.т13 Случайный выбор.
5. 9 класс
   пунктов: 4

   • В9.4 Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь результатами проведённых измерений и наблюдений.
   • В9.5 Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
   • В9.т7 Геометрическая вероятность.
   • В9.т8 Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
6. 10 класс
   пунктов: 12

   • В10.3 Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие, элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта, находить вероятности в опытах с равновозможными случайными событиями, находить и сравнивать вероятности событий в изученных случайных экспериментах.
   • В10.т3 Случайные эксперименты (опыты) и случайные события.
   • В10.т4 Элементарные события (исходы).
   • В10.т5 Вероятность случайного события.
   • В10.т7 Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями.
   • В10.т8 Вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями.
   • В10у.2 Свободно оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт), случайное событие, элементарное случайное событие (элементарный исход) случайного опыта, находить вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями.
   • В10у.т5 Случайные эксперименты (опыты) и случайные события.
   • В10у.т6 Элементарные события (исходы).
   • В10у.т7 Вероятность случайного события.
   • В10у.т9 Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями.
   • В10у.т27 Случайный выбор из конечной совокупности.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 4
   пунктов: 1

   • ЕЭ6.2 Вероятность

4Сложение и умножение вероятностей

противоположные и несовместные события, условная вероятность, дерево, полная вероятность, Байес

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 11

   • В8.5 Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
   • В8.т19 Противоположные события.
   • В8.т20 Диаграмма Эйлера.
   • В8.т21 Объединение и пересечение событий.
   • В8.т22 Несовместные события.
   • В8.т23 Формула сложения вероятностей.
   • В8.т24 Условная вероятность.
   • В8.т25 Правило умножения.
   • В8.т26 Независимые события.
   • В8.т27 Представление эксперимента в виде дерева.
   • В8.т28 Решение задач на нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента, диаграмм Эйлера.
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 21

   • В10.4 Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных событий, событие, противоположное данному событию, пользоваться диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей при решении задач.
   • В10.5 Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события, находить вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного опыта.
   • В10.т9 Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события.
   • В10.т10 Диаграммы Эйлера.
   • В10.т11 Формула сложения вероятностей.
   • В10.т12 Условная вероятность.
   • В10.т13 Умножение вероятностей.
   • В10.т14 Дерево случайного эксперимента.
   • В10.т15 Формула полной вероятности.
   • В10.т16 Независимые события.
   • В10у.3 Находить и формулировать события: пересечение, объединение данных событий, событие, противоположное данному, использовать диаграммы Эйлера, координатную прямую для решения задач, пользоваться формулой сложения вероятностей для вероятностей двух и трех случайных событий.
   • В10у.4 Оперировать понятиями: условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события, дерево случайного эксперимента, находить вероятности событий с помощью правила умножения, дерева случайного опыта, использовать формулу полной вероятности, формулу Байеса при решении задач, определять независимость событий по формуле и по организации случайного эксперимента.
   • В10у.т10 Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события.
   • В10у.т11 Диаграммы Эйлера.
   • В10у.т12 Формула сложения вероятностей.
   • В10у.т13 Условная вероятность.
   • В10у.т14 Умножение вероятностей.
   • В10у.т15 Дерево случайного эксперимента.
   • В10у.т16 Формула полной вероятности.
   • В10у.т17 Формула Байеса.
   • В10у.т18 Независимые события.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 5
   пунктов: 1

   • ЕЭ6.2 Вероятность

5Комбинаторика

перебор вариантов → правило умножения, перестановки, сочетания → треугольник Паскаля и бином

1. 5 класс
   пунктов: 1

   • М5.т48 Решение задач перебором всех возможных вариантов.
2. 6 класс
   пунктов: 1

   • М6.т41 Решение задач перебором всех возможных вариантов.
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 1

   • В8.т17 Правило умножения.
5. 9 класс
   пунктов: 5

   • В9.2 Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием комбинаторных правил и методов.
   • В9.т3 Перестановки и факториал.
   • В9.т4 Сочетания и число сочетаний.
   • В9.т5 Треугольник Паскаля.
   • В9.т6 Решение задач с использованием комбинаторики.
6. 10 класс
   пунктов: 12

   • В10.6 Применять комбинаторное правило умножения при решении задач.
   • В10.т17 Комбинаторное правило умножения.
   • В10.т18 Перестановки и факториал.
   • В10.т19 Число сочетаний.
   • В10.т20 Треугольник Паскаля.
   • В10.т21 Формула бинома Ньютона.
   • В10у.5 Применять изученные комбинаторные формулы для перечисления элементов множеств, элементарных событий случайного опыта, решения задач по теории вероятностей.
   • В10у.т22 Перестановки и факториал.
   • В10у.т23 Число сочетаний.
   • В10у.т24 Треугольник Паскаля.
   • В10у.т25 Формула бинома Ньютона.
   • А10у.т10 Бином Ньютона.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 4, 5
   пунктов: 1

   • ЕЭ6.3 Комбинаторика

• А10у.т10 «Бином Ньютона» — также в вертикали «Степени» линии «Числа и вычисления».

6Испытания Бернулли

успех и неудача, серия до первого успеха, формула Бернулли

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 5

   • В9.т9 Испытание.
   • В9.т10 Успех и неудача.
   • В9.т11 Серия испытаний до первого успеха.
   • В9.т12 Серия испытаний Бернулли.
   • В9.т13 Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
6. 10 класс
   пунктов: 10

   • В10.7 Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний, успех и неудача, находить вероятности событий в серии независимых испытаний до первого успеха, находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
   • В10.т22 Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача.
   • В10.т23 Независимые испытания.
   • В10.т24 Серия независимых испытаний до первого успеха.
   • В10.т25 Серия независимых испытаний Бернулли.
   • В10у.6 Свободно оперировать понятиями: бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача, независимые испытания, серия испытаний, находить вероятности событий: в серии испытаний до первого успеха, в серии испытаний Бернулли, в опыте, связанном со случайным выбором из конечной совокупности.
   • В10у.т19 Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача.
   • В10у.т20 Независимые испытания.
   • В10у.т21 Серия независимых испытаний до первого успеха.
   • В10у.т26 Серия независимых испытаний Бернулли.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 5, 6
   пунктов: 1

   • ЕЭ6.2 Вероятность

7Случайные величины

распределение, математическое ожидание, дисперсия → непрерывные и нормальное распределения

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 5

   • В9.6 Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей.
   • В9.т14 Случайная величина и распределение вероятностей.
   • В9.т15 Математическое ожидание и дисперсия.
   • В9.т16 Примеры математического ожидания как теоретического среднего значения величины.
   • В9.т17 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины «число успехов в серии испытаний Бернулли».
6. 10 класс
   пунктов: 27

   • В10.8 Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма распределения.
   • В10.т26 Случайная величина.
   • В10.т27 Распределение вероятностей.
   • В10.т28 Диаграмма распределения.
   • В10.т29 Примеры распределений, в том числе, геометрическое и биномиальное.
   • В10у.7 Свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма распределения, бинарная случайная величина, геометрическое, биномиальное распределение.
   • В10у.8 Оперировать понятиями: совместное распределение двух случайных величин, использовать таблицу совместного распределения двух случайных величин для выделения распределения каждой величины, определения независимости случайных величин.
   • В10у.9 Свободно оперировать понятием математического ожидания случайной величины (распределения), применять свойства математического ожидания при решении задач, вычислять математическое ожидание биномиального и геометрического распределений.
   • В10у.10 Свободно оперировать понятиями: дисперсия, стандартное отклонение случайной величины, применять свойства дисперсии случайной величины (распределения) при решении задач, вычислять дисперсию и стандартное отклонение геометрического и биномиального распределений.
   • В10у.т28 Случайная величина.
   • В10у.т29 Распределение вероятностей.
   • В10у.т30 Диаграмма распределения.
   • В10у.т31 Операции над случайными величинами.
   • В10у.т32 Бинарная случайная величина.
   • В10у.т33 Примеры распределений, в том числе геометрическое и биномиальное.
   • В10у.т34 Совместное распределение двух случайных величин.
   • В10у.т35 Независимые случайные величины.
   • В10у.т36 Математическое ожидание случайной величины (распределения).
   • В10у.т37 Примеры применения математического ожидания (страхование, лотерея).
   • В10у.т38 Математическое ожидание бинарной случайной величины.
   • В10у.т39 Математическое ожидание суммы случайных величин.
   • В10у.т40 Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
   • В10у.т41 Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины (распределения).
   • В10у.т42 Дисперсия бинарной случайной величины.
   • В10у.т43 Математическое ожидание произведения и дисперсия суммы независимых случайных величин.
   • В10у.т44 Дисперсия и стандартное отклонение биномиального распределения.
   • В10у.т45 Дисперсия и стандартное отклонение геометрического распределения..
7. 11 класс
   пунктов: 23

   • В11.1 Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или с помощью диаграмм.
   • В11.2 Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры, как применяется математическое ожидание случайной величины находить математическое ожидание по данному распределению.
   • В11.4 Иметь представление о нормальном распределении.
   • В11.т1 Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.
   • В11.т2 Примеры применения математического ожидания, в том числе в задачах из повседневной жизни.
   • В11.т3 Математическое ожидание бинарной случайной величины.
   • В11.т4 Математическое ожидание суммы случайных величин.
   • В11.т5 Математическое ожидание и дисперсия геометрического и биномиального распределений.
   • В11.т8 Примеры непрерывных случайных величин.
   • В11.т9 Понятие о плотности распределения.
   • В11.т10 Задачи, приводящие к нормальному распределению.
   • В11.т11 Понятие о нормальном распределении.
   • В11у.2 Приводить примеры задач, приводящих к показательному распределению, задач, приводящих к нормальному распределению. Оперировать понятиями: функция плотности вероятности показательного распределения, функция плотности вероятности нормального распределения, функция плотности и свойства нормального распределения.
   • В11у.т9 Непрерывные случайные величины.
   • В11у.т10 Примеры.
   • В11у.т11 Функция плотности вероятности распределения.
   • В11у.т12 Равномерное распределение и его свойства.
   • В11у.т13 Задачи, приводящие к показательному распределению.
   • В11у.т14 Задачи, приводящие к нормальному распределению.
   • В11у.т15 Функция плотности вероятности показательного распределения, функция плотности вероятности нормального распределения.
   • В11у.т16 Функция плотности и свойства нормального распределения.
   • В11у.т17 Последовательность одиночных независимых событий.
   • В11у.т18 Задачи, приводящие к распределению Пуассона.
8. ЕГЭ
   задание 6
   пунктов: 1

   • ЕЭ6.2 Вероятность

8Закон больших чисел

частота и вероятность, маловероятные события → закон больших чисел, теоремы Чебышёва и Бернулли

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 2

   • В7.т8 Вероятность и частота.
   • В7.т9 Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе и в обществе.
4. 8 класс
   пунктов: 1

   • В8.т14 Связь между маловероятными и практически достоверными событиями в природе, обществе и науке.
5. 9 класс
   пунктов: 4

   • В9.7 Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в природе и обществе.
   • В9.т18 Понятие о законе больших чисел.
   • В9.т19 Измерение вероятностей с помощью частот.
   • В9.т20 Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.
6. 10 класс
   пунктов: 2

   • В10.т6 Близость частоты и вероятности событий.
   • В10у.т8 Близость частоты и вероятности событий.
7. 11 класс
   пунктов: 6

   • В11.3 Иметь представление о законе больших чисел.
   • В11.т6 Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе.
   • В11у.т1 Неравенство Чебышёва.
   • В11у.т2 Теорема Чебышёва.
   • В11у.т3 Теорема Бернулли.
   • В11у.т4 Закон больших чисел.
8. ЕГЭ
   отдельного задания нет
   пунктов: 1

   • ЕЭ6.2 Вероятность

9Графы

вершины и рёбра, пути и циклы, деревья, эйлеров путь

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 9

   • В7.т11 Граф, вершина, ребро.
   • В7.т12 Степень вершины.
   • В7.т13 Число рёбер и суммарная степень вершин.
   • В7.т14 Представление о связности графа.
   • В7.т15 Цепи и циклы.
   • В7.т16 Пути в графах.
   • В7.т17 Обход графа (эйлеров путь).
   • В7.т18 Представление об ориентированном графе.
   • В7.т19 Решение задач с помощью графов.
4. 8 класс
   пунктов: 3

   • В8.т15 Дерево.
   • В8.т16 Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер.
   • В8.т18 Решение задач с помощью графов.
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 5

   • В10у.1 Свободно оперировать понятиями: граф, плоский граф, связный граф, путь в графе, цепь, цикл, дерево, степень вершины, дерево случайного эксперимента.
   • В10у.т1 Граф, связный граф, пути в графе: циклы и цепи.
   • В10у.т2 Степень (валентность) вершины.
   • В10у.т3 Графы на плоскости.
   • В10у.т4 Деревья.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   нет в программе

• В кодификаторе ЕГЭ отдельного элемента нет; графы используются как дерево случайного эксперимента (задание 5).
• На ступени 10 — только углублённый уровень.

1Точки, прямые, углы

наглядные представления → виды углов, смежные и вертикальные → параллельные прямые

1. 5 класс
   пунктов: 6

   • М5.12 Пользоваться геометрическими понятиями: точка, прямая, отрезок, луч, угол, многоугольник, окружность, круг.
   • М5.14 Использовать терминологию, связанную с углами: вершина сторона, с многоугольниками: угол, вершина, сторона, диагональ, с окружностью: радиус, диаметр, центр.
   • М5.т55 Наглядные представления о фигурах на плоскости: точка, прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, многоугольник, окружность, круг.
   • М5.т56 Угол.
   • М5.т57 Прямой, острый, тупой и развернутый углы.
   • М5.т60 Измерение и построение углов с помощью транспортира.
2. 6 класс
   пунктов: 4

   • М6.22 Находить величины углов измерением с помощью транспортира, строить углы заданной величины, пользоваться при решении задач градусной мерой углов, распознавать на чертежах острый, прямой, развернутый и тупой углы.
   • М6.т51 Наглядные представления о фигурах на плоскости: точка, прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, многоугольник, четырехугольник, треугольник, окружность, круг.
   • М6.т52 Взаимное расположение двух прямых на плоскости, параллельные прямые, перпендикулярные прямые.
   • М6.т54 Измерение и построение углов с помощью транспортира.
3. 7 класс
   пунктов: 12

   • Г7.1 Распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи. Измерять линейные и угловые величины. Решать задачи на вычисление длин отрезков и величин углов.
   • Г7.7 Определять параллельность прямых с помощью углов, которые образует с ними секущая. Определять параллельность прямых с помощью равенства расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.
   • Г7.9 Проводить вычисления и находить числовые и буквенные значения углов в геометрических задачах с использованием суммы углов треугольников и многоугольников, свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. Решать практические задачи на нахождение углов.
   • Г7.т1 Начальные понятия геометрии.
   • Г7.т2 Точка, прямая, отрезок, луч.
   • Г7.т3 Угол.
   • Г7.т4 Виды углов.
   • Г7.т5 Вертикальные и смежные углы.
   • Г7.т6 Биссектриса угла.
   • Г7.т7 Ломаная, многоугольник.
   • Г7.т8 Параллельность и перпендикулярность прямых.
   • Г7.т19 Свойства и признаки параллельных прямых.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 1, 18
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.1 Фигуры на плоскости

2Треугольники

виды треугольников → признаки равенства, сумма углов → медианы, центр масс

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   пунктов: 1

   • М6.т55 Виды треугольников: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный, равносторонний.
3. 7 класс
   пунктов: 17

   • Г7.4 Пользоваться признаками равенства треугольников, использовать признаки и свойства равнобедренных треугольников при решении задач.
   • Г7.6 Пользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников, свойством медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, в решении геометрических задач.
   • Г7.14 Пользоваться простейшими геометрическими неравенствами, понимать их практический смысл.
   • Г7.т13 Треугольник.
   • Г7.т14 Высота, медиана, биссектриса, их свойства.
   • Г7.т15 Равнобедренный и равносторонний треугольники.
   • Г7.т16 Неравенство треугольника.
   • Г7.т17 Свойства и признаки равнобедренного треугольника.
   • Г7.т18 Признаки равенства треугольников.
   • Г7.т20 Сумма углов треугольника.
   • Г7.т21 Внешние углы треугольника.
   • Г7.т22 Прямоугольный треугольник.
   • Г7.т23 Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.
   • Г7.т24 Признаки равенства прямоугольных треугольников.
   • Г7.т25 Прямоугольный треугольник с углом в 30°.
   • Г7.т26 Неравенства в геометрии: неравенство треугольника, неравенство о длине ломаной, теорема о большем угле и большей стороне треугольника.
   • Г7.т27 Перпендикуляр и наклонная.
4. 8 класс
   пунктов: 3

   • Г8.2 Применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач.
   • Г8.т6 Метод удвоения медианы.
   • Г8.т10 Центр масс треугольника.
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 1, 18
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.1 Фигуры на плоскости

3Четырёхугольники

прямоугольник и квадрат → параллелограмм, ромб, трапеция, средние линии

1. 5 класс
   пунктов: 3

   • М5.17 Использовать свойства сторон и углов прямоугольника, квадрата для их построения, вычисления площади и периметра.
   • М5.т61 Наглядные представления о фигурах на плоскости: многоугольник, прямоугольник, квадрат, треугольник, о равенстве фигур.
   • М5.т64 Использование свойств сторон и углов прямоугольника, квадрата.
2. 6 класс
   пунктов: 2

   • М6.т56 Четырехугольник, примеры четырехугольников.
   • М6.т57 Прямоугольник, квадрат: использование свойств сторон, углов, диагоналей.
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 8

   • Г8.1 Распознавать основные виды четырёхугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
   • Г8.3 Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач. Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач.
   • Г8.т1 Четырёхугольники.
   • Г8.т2 Параллелограмм, его признаки и свойства.
   • Г8.т3 Частные случаи параллелограммов (прямоугольник, ромб, квадрат), их признаки и свойства.
   • Г8.т4 Трапеция, равнобокая трапеция, её свойства и признаки.
   • Г8.т5 Прямоугольная трапеция.
   • Г8.т9 Средние линии треугольника и трапеции.
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 1, 18
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.1 Фигуры на плоскости

4Подобие

теорема Фалеса → признаки подобия → преобразование подобия

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 6

   • Г8.4 Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач.
   • Г8.т8 Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках.
   • Г8.т11 Подобие треугольников, коэффициент подобия.
   • Г8.т12 Признаки подобия треугольников.
   • Г8.т13 Применение подобия при решении практических задач.
   • Г8.т16 Отношение площадей подобных фигур.
5. 9 класс
   пунктов: 3

   • Г9.4 Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь приводить примеры подобных фигур в окружающем мире.
   • Г9.т7 Преобразование подобия.
   • Г9.т8 Подобие соответственных элементов.
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 1, 18
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.1 Фигуры на плоскости

• Продолжение в пространстве — вертикаль «Подобные тела» линии «Геометрия в пространстве».

5Теорема Пифагора и решение треугольников

теорема Пифагора → синус, косинус, тангенс острого угла → теоремы синусов и косинусов

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 6

   • Г8.5 Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертёж и находить соответствующие длины.
   • Г8.6 Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пользоваться этими понятиями для решения практических задач.
   • Г8.т18 Теорема Пифагора.
   • Г8.т19 Применение теоремы Пифагора при решении практических задач.
   • Г8.т20 Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
   • Г8.т22 Тригонометрические функции углов в 30°, 45° и 60°.
5. 9 класс
   пунктов: 6

   • Г9.1 Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их помощью различные элементы прямоугольного треугольника («решение прямоугольных треугольников»). Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений.
   • Г9.3 Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника («решение треугольников»), применять их при решении геометрических задач.
   • Г9.т1 Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°.
   • Г9.т4 Решение треугольников.
   • Г9.т5 Теорема косинусов и теорема синусов.
   • Г9.т6 Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов.
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 1, 18
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.1 Фигуры на плоскости

• Тригонометрия углов — также в вертикали «Тригонометрия» линии «Числа и вычисления».

6Окружность

хорда, касательная → вписанные и центральные углы → вписанные и описанные многоугольники, отрезки хорд и секущих

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 11

   • Г7.10 Владеть понятием геометрического места точек. Уметь определять биссектрису угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
   • Г7.11 Формулировать определения окружности и круга, хорды и диаметра окружности, пользоваться их свойствами. Уметь применять эти свойства при решении задач.
   • Г7.12 Владеть понятием описанной около треугольника окружности, уметь находить её центр. Пользоваться фактами о том, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, и о том, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
   • Г7.13 Владеть понятием касательной к окружности, пользоваться теоремой о перпендикулярности касательной и радиуса, проведённого к точке касания.
   • Г7.т28 Геометрическое место точек.
   • Г7.т29 Биссектриса угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
   • Г7.т30 Окружность и круг, хорда и диаметр, их свойства.
   • Г7.т31 Взаимное расположение окружности и прямой.
   • Г7.т32 Касательная и секущая к окружности.
   • Г7.т33 Окружность, вписанная в угол.
   • Г7.т34 Вписанная и описанная окружности треугольника.
4. 8 класс
   пунктов: 8

   • Г8.8 Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач.
   • Г8.9 Владеть понятием описанного четырёхугольника, применять свойства описанного четырёхугольника при решении задач.
   • Г8.т23 Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой.
   • Г8.т24 Углы между хордами и секущими.
   • Г8.т25 Вписанные и описанные четырёхугольники.
   • Г8.т26 Взаимное расположение двух окружностей.
   • Г8.т27 Касание окружностей.
   • Г8.т28 Общие касательные к двум окружностям.
5. 9 класс
   пунктов: 3

   • Г9.5 Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной.
   • Г9.т9 Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной.
   • Г9.т17 Правильные многоугольники.
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 1, 18
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.1 Фигуры на плоскости

7Длина, периметр, площадь

измерение отрезков → периметр и площадь прямоугольника → формулы площадей → длина окружности и площадь круга

1. 5 класс
   пунктов: 7

   • М5.16 Находить длины отрезков непосредственным измерением с помощью линейки, строить отрезки заданной длины; строить окружность заданного радиуса.
   • М5.18 Вычислять периметр и площадь квадрата, прямоугольника, фигур, составленных из прямоугольников, в том числе фигур, изображенных на клетчатой бумаге.
   • М5.19 Пользоваться основными метрическими единицами измерения длины, площади; выражать одни единицы величины через другие.
   • М5.т58 Длина отрезка, метрические единицы длины.
   • М5.т59 Длина ломаной, периметр многоугольника.
   • М5.т65 Площадь прямоугольника и многоугольников, составленных из прямоугольников, в том числе фигур, изображенных на клетчатой бумаге.
   • М5.т66 Единицы измерения площади.
2. 6 класс
   пунктов: 8

   • М6.23 Вычислять длину ломаной, периметр многоугольника, пользоваться единицами измерения длины, выражать одни единицы измерения длины через другие.
   • М6.24 Находить, используя чертежные инструменты, расстояния: между двумя точками, от точки до прямой, длину пути на квадратной сетке.
   • М6.25 Вычислять площадь фигур, составленных из прямоугольников, использовать разбиение на прямоугольники, на равные фигуры, достраивание до прямоугольника, пользоваться основными единицами измерения площади, выражать одни единицы измерения площади через другие.
   • М6.т53 Измерение расстояний: между двумя точками, от точки до прямой, длина маршрута на квадратной сетке.
   • М6.т60 Периметр многоугольника.
   • М6.т61 Понятие площади фигуры, единицы измерения площади.
   • М6.т62 Приближенное измерение площади фигур, в том числе на квадратной сетке.
   • М6.т63 Приближенное измерение длины окружности, площади круга.
3. 7 класс
   пунктов: 1

   • Г7.2 Делать грубую оценку линейных и угловых величин предметов в реальной жизни, размеров природных объектов. Различать размеры этих объектов по порядку величины.
4. 8 класс
   пунктов: 4

   • Г8.7 Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах.
   • Г8.т14 Свойства площадей геометрических фигур.
   • Г8.т15 Формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции.
   • Г8.т17 Вычисление площадей треугольников и многоугольников на клетчатой бумаге.
5. 9 класс
   пунктов: 4

   • Г9.8 Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах.
   • Г9.т18 Длина окружности.
   • Г9.т19 Градусная и радианная мера угла, вычисление длин дуг окружностей.
   • Г9.т20 Площадь круга, сектора, сегмента.
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 1, 18
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.1 Фигуры на плоскости

8Построения и чертежи

изображение фигур на клетчатой и нелинованной бумаге → построения циркулем и линейкой

1. 5 класс
   пунктов: 3

   • М5.15 Изображать изученные геометрические фигуры на нелинованной и клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки.
   • М5.т62 Изображение фигур, в том числе на клетчатой бумаге.
   • М5.т63 Построение конфигураций из частей прямой, окружности на нелинованной и клетчатой бумаге.
2. 6 класс
   пунктов: 3

   • М6.20 Изображать с помощью циркуля, линейки, транспортира на нелинованной и клетчатой бумаге изученные плоские геометрические фигуры и конфигурации, симметричные фигуры.
   • М6.т58 Изображение геометрических фигур на нелинованной бумаге с использованием циркуля, линейки, угольника, транспортира.
   • М6.т59 Построения на клетчатой бумаге.
3. 7 класс
   пунктов: 4

   • Г7.3 Строить чертежи к геометрическим задачам.
   • Г7.8 Решать задачи на клетчатой бумаге.
   • Г7.15 Проводить основные геометрические построения с помощью циркуля и линейки.
   • Г7.т12 Основные построения с помощью циркуля и линейки.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   нет в программе

• В 8–9 классах и в ЕГЭ отдельных пунктов нет: чертёж — часть решения любой задачи.

1Многогранники

куб и параллелепипед, развёртки → призма, пирамида, правильные многогранники

1. 5 класс
   пунктов: 5

   • М5.20 Распознавать параллелепипед, куб, использовать терминологию: вершина, ребро грань, измерения, находить измерения параллелепипеда, куба.
   • М5.т67 Наглядные представления о пространственных фигурах: прямоугольный параллелепипед, куб, многогранники.
   • М5.т68 Изображение простейших многогранников.
   • М5.т69 Развертки куба и параллелепипеда.
   • М5.т70 Создание моделей многогранников (из бумаги, проволоки, пластилина и других материалов).
2. 6 класс
   пунктов: 4

   • М6.27 Изображать на клетчатой бумаге прямоугольный параллелепипед.
   • М6.т66 Наглядные представления о пространственных фигурах: параллелепипед, куб, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар и сфера.
   • М6.т67 Изображение пространственных фигур.
   • М6.т69 Создание моделей пространственных фигур (из бумаги, проволоки, пластилина и других материалов).
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 21

   • Г10.6 Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невыпуклый многогранник, элементы многогранника, правильный многогранник.
   • Г10.7 Распознавать основные виды многогранников (пирамида, призма, прямоугольный параллелепипед, куб).
   • Г10.8 Классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации (выпуклые и невыпуклые многогранники, правильные многогранники, прямые и наклонные призмы, параллелепипеды).
   • Г10.т14 Понятие многогранника, основные элементы многогранника, выпуклые и невыпуклые многогранники, развертка многогранника.
   • Г10.т15 Призма: n-угольная призма, грани и основания призмы, прямая и наклонная призмы, боковая и полная поверхность призмы.
   • Г10.т16 Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его свойства.
   • Г10.т17 Пирамида: n-угольная пирамида, грани и основание пирамиды, боковая и полная поверхность пирамиды, правильная и усеченная пирамида.
   • Г10.т18 Элементы призмы и пирамиды.
   • Г10.т19 Правильные многогранники: понятие правильного многогранника, правильная призма и правильная пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб.
   • Г10.т20 Представление о правильных многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
   • Г10у.5 Свободно оперировать понятиями, связанными с многогранниками.
   • Г10у.6 Свободно распознавать основные виды многогранников (призма, пирамида, прямоугольный параллелепипед, куб).
   • Г10у.7 Классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации.
   • Г10у.т23 Виды многогранников, развертка многогранника.
   • Г10у.т24 Призма: n-угольная призма, прямая и наклонная призмы, боковая и полная поверхность призмы.
   • Г10у.т25 Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его свойства.
   • Г10у.т27 Теорема Эйлера.
   • Г10у.т29 Пирамида: n-угольная пирамида, правильная и усеченная пирамиды.
   • Г10у.т30 Свойства ребер и боковых граней правильной пирамиды.
   • Г10у.т31 Правильные многогранники: правильная призма и правильная пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб.
   • Г10у.т32 Представление о правильных многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задания 3, 15
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.3 Многогранники

• В 7–9 классах пространственных фигур в программе нет — разрыв от 6 до 10 класса.

2Прямые и плоскости в пространстве

аксиомы стереометрии, параллельность и перпендикулярность, теорема о трёх перпендикулярах

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 26

   • Г10.1 Оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость.
   • Г10.2 Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении геометрических задач.
   • Г10.3 Оперировать понятиями: параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей.
   • Г10.4 Классифицировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
   • Г10.т1 Основные понятия стереометрии.
   • Г10.т2 Точка, прямая, плоскость, пространство.
   • Г10.т3 Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них.
   • Г10.т4 Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.
   • Г10.т5 Параллельность прямых и плоскостей в пространстве: параллельные прямые в пространстве, параллельность трех прямых, параллельность прямой и плоскости.
   • Г10.т7 Параллельность плоскостей: параллельные плоскости, свойства параллельных плоскостей.
   • Г10.т9 Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной плоскости.
   • Г10.т12 Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей.
   • Г10.т13 Теорема о трех перпендикулярах.
   • Г10у.1 Свободно оперировать основными понятиями стереометрии при решении задач и проведении математических рассуждений.
   • Г10у.2 Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении геометрических задач.
   • Г10у.3 Классифицировать взаимное расположение прямых в пространстве, плоскостей в пространстве, прямых и плоскостей в пространстве.
   • Г10у.т1 Основные понятия стереометрии.
   • Г10у.т2 Точка, прямая, плоскость, пространство.
   • Г10у.т3 Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них.
   • Г10у.т4 Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.
   • Г10у.т5 Признаки скрещивающихся прямых.
   • Г10у.т6 Параллельность прямых и плоскостей в пространстве: параллельные прямые в пространстве, параллельность трех прямых, параллельность прямой и плоскости.
   • Г10у.т11 Параллельность плоскостей: параллельные плоскости, свойства параллельных плоскостей.
   • Г10у.т13 Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной плоскости.
   • Г10у.т16 Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей.
   • Г10у.т17 Теорема о трех перпендикулярах.
7. 11 класс
   нет в программе
8. ЕГЭ
   задание 15
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.2 Прямые и плоскости в пространстве

3Углы и расстояния в пространстве

перпендикуляр и наклонная → углы между прямыми и плоскостями, расстояния → координатный метод

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   пунктов: 1

   • Г7.т27 Перпендикуляр и наклонная.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 18

   • Г10.5 Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранного угла, ребро двугранного угла, линейный угол двугранного угла, градусная мера двугранного угла.
   • Г10.12 Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении стандартных математических задач на вычисление расстояний между двумя точками, от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми.
   • Г10.13 Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении стандартных математических задач на вычисление углов между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, двугранных углов.
   • Г10.т6 Углы с сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве.
   • Г10.т10 Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
   • Г10.т11 Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость.
   • Г10.т24 Вычисление элементов многогранников: ребра, диагонали, углы.
   • Г10у.4 Свободно оперировать понятиями, связанными с углами в пространстве: между прямыми в пространстве, между прямой и плоскостью.
   • Г10у.т10 Углы с сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве.
   • Г10у.т15 Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость.
   • Г10у.т18 Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
   • Г10у.т19 Трехгранный и многогранные углы.
   • Г10у.т20 Свойства плоских углов многогранного угла.
   • Г10у.т21 Свойства плоских и двугранных углов трехгранного угла.
   • Г10у.т22 Теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла.
   • Г10у.т26 Кратчайшие пути на поверхности многогранника.
   • Г10у.т28 Пространственная теорема Пифагора.
   • Г10у.т33 Вычисление элементов многогранников: ребра, диагонали, углы.
7. 11 класс
   пунктов: 2

   • Г11.т31 Вычисление углов между прямыми и плоскостями.
   • Г11у.13 Решать геометрические задачи на вычисление углов между прямыми и плоскостями, вычисление расстояний от точки до плоскости, в целом, на применение векторно-координатного метода при решении.
8. ЕГЭ
   задания 3, 15
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.2 Прямые и плоскости в пространстве

• 7 класс — перпендикуляр и наклонная на плоскости как основа расстояний.

4Сечения и изображения

изображение фигур, параллельное проектирование, сечения методом следов

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 15

   • Г10.9 Оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение многогранников.
   • Г10.10 Объяснять принципы построения сечений, используя метод следов.
   • Г10.11 Строить сечения многогранников методом следов, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу.
   • Г10.16 Извлекать, преобразовывать и интерпретировать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
   • Г10.т8 Простейшие пространственные фигуры на плоскости: тетраэдр, куб, параллелепипед, построение сечений.
   • Г10.т21 Сечения призмы и пирамиды.
   • Г10у.8 Свободно оперировать понятиями, связанными с сечением многогранников плоскостью.
   • Г10у.9 Выполнять параллельное, центральное и ортогональное проектирование фигур на плоскость, выполнять изображения фигур на плоскости.
   • Г10у.10 Строить сечения многогранников различными методами, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу.
   • Г10у.17 Извлекать, преобразовывать и интерпретировать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
   • Г10у.т7 Параллельное и центральное проектирование, изображение фигур.
   • Г10у.т8 Основные свойства параллельного проектирования.
   • Г10у.т9 Изображение фигур в параллельной проекции.
   • Г10у.т12 Простейшие пространственные фигуры на плоскости: тетраэдр, параллелепипед, построение сечений.
   • Г10у.т14 Ортогональное проектирование.
7. 11 класс
   пунктов: 12

   • Г11.9 Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертежных инструментов.
   • Г11.10 Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу, строить сечения тел вращения.
   • Г11.11 Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
   • Г11.т8 Изображение тел вращения на плоскости.
   • Г11.т19 Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара.
   • Г11у.8 Изображать изучаемые фигуры, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу, строить сечения тел вращения.
   • Г11у.9 Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
   • Г11у.15 Выполнять изображения многогранником и тел вращения при параллельном переносе, центральной симметрии, зеркальной симметрии, при повороте вокруг прямой, преобразования подобия.
   • Г11у.16 Строить сечения многогранников и тел вращения: сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара.
   • Г11у.17 Использовать методы построения сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования, метод переноса секущей плоскости.
   • Г11у.т4 Изображение тел вращения на плоскости.
   • Г11у.т22 Построение сечений многогранников и тел вращения: сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара, методы построения сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования, метод переноса секущей плоскости.
8. ЕГЭ
   задание 15
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.3 Многогранники

5Тела вращения

цилиндр, конус, шар → сечения, касательная плоскость, комбинации с многогранниками

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   пунктов: 2

   • М6.26 Распознавать на моделях и изображениях пирамиду, конус, цилиндр, использовать терминологию: вершина, ребро, грань, основание, развертка.
   • М6.т68 Примеры разверток многогранников, цилиндра и конуса.
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   нет в программе
7. 11 класс
   пунктов: 31

   • Г11.1 Оперировать понятиями: цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности, цилиндр, коническая поверхность, образующие конической поверхности, конус, сферическая поверхность.
   • Г11.2 Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар).
   • Г11.3 Объяснять способы получения тел вращения.
   • Г11.4 Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости.
   • Г11.5 Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента, высота сегмента, шаровой слой, основание шарового слоя, высота шарового слоя, шаровой сектор.
   • Г11.7 Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело вращения.
   • Г11.т1 Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности, ось цилиндрической поверхности.
   • Г11.т2 Цилиндр: основания и боковая поверхность, образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности.
   • Г11.т3 Коническая поверхность, образующие конической поверхности, ось и вершина конической поверхности.
   • Г11.т4 Конус: основание и вершина, образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности.
   • Г11.т5 Усеченный конус: образующие и высота, основания и боковая поверхность.
   • Г11.т6 Сфера и шар: центр, радиус, диаметр, площадь поверхности сферы.
   • Г11.т7 Взаимное расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере, площадь сферы.
   • Г11.т9 Развертка цилиндра и конуса.
   • Г11.т10 Комбинации тел вращения и многогранников.
   • Г11.т11 Многогранник, описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник, или тело вращения.
   • Г11у.1 Свободно оперировать понятиями, связанными с цилиндрической, конической и сферической поверхностями, объяснять способы получения.
   • Г11у.2 Оперировать понятиями, связанными с телами вращения: цилиндром, конусом, сферой и шаром.
   • Г11у.3 Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар) и объяснять способы получения тел вращения.
   • Г11у.4 Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости.
   • Г11у.6 Свободно оперировать понятиями, связанными с комбинациями тел вращения и многогранников: многогранник, вписанный в сферу и описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело вращения.
   • Г11у.т1 Понятия: цилиндрическая поверхность, коническая поверхность, сферическая поверхность, образующие поверхностей.
   • Г11у.т2 Тела вращения: цилиндр, конус, усеченный конус, сфера, шар.
   • Г11у.т3 Взаимное расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере.
   • Г11у.т5 Развертка цилиндра и конуса.
   • Г11у.т6 Симметрия сферы и шара.
   • Г11у.т12 Комбинации тел вращения и многогранников.
   • Г11у.т13 Призма, вписанная в цилиндр, описанная около цилиндра.
   • Г11у.т14 Пересечение сферы и шара с плоскостью.
   • Г11у.т15 Касание шара и сферы плоскостью.
   • Г11у.т16 Понятие многогранника, описанного около сферы, сферы, вписанной в многогранник или тело вращения.
8. ЕГЭ
   задания 3, 15
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.4 Тела и поверхности вращения

6Площадь поверхности и объём

объём параллелепипеда и куба → площади поверхностей и объёмы многогранников → тела вращения

1. 5 класс
   пунктов: 3

   • М5.21 Вычислять объем куба, параллелепипеда по заданным измерениям, пользоваться единицами измерения объема.
   • М5.т71 Объем прямоугольного параллелепипеда, куба.
   • М5.т72 Единицы измерения объема.
2. 6 класс
   пунктов: 3

   • М6.28 Вычислять объем прямоугольного параллелепипеда, куба, пользоваться основными единицами измерения объема.
   • М6.т70 Понятие объема, единицы измерения объема.
   • М6.т71 Объем прямоугольного параллелепипеда, куба.
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 8

   • Г10.14 Вычислять объемы и площади поверхностей многогранников (призма, пирамида) с применением формул, вычислять соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных многогранников.
   • Г10.т25 Площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой поверхности прямой призмы.
   • Г10.т26 Площадь боковой поверхности и поверхности правильной пирамиды, теорема о площади усеченной пирамиды.
   • Г10.т27 Понятие об объеме.
   • Г10.т28 Объем пирамиды, призмы.
   • Г10у.11 Вычислять площади поверхностей многогранников (призма, пирамида), геометрических тел с применением формул.
   • Г10у.т34 Площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой поверхности прямой призмы.
   • Г10у.т35 Площадь боковой поверхности и поверхности правильной пирамиды, теорема о площади усеченной пирамиды.
7. 11 класс
   пунктов: 13

   • Г11.6 Вычислять объемы и площади поверхностей тел вращения, геометрических тел с применением формул.
   • Г11.т12 Понятие об объеме.
   • Г11.т13 Основные свойства объемов тел.
   • Г11.т14 Теорема об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее.
   • Г11.т15 Объем цилиндра, конуса.
   • Г11.т16 Объем шара и площадь сферы.
   • Г11у.5 Вычислять величины элементов многогранников и тел вращения, объемы и площади поверхностей многогранников и тел вращения, геометрических тел с применением формул.
   • Г11у.т7 Объем.
   • Г11у.т8 Основные свойства объемов тел.
   • Г11у.т9 Теорема об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее.
   • Г11у.т10 Объем прямой и наклонной призмы, цилиндра, пирамиды и конуса.
   • Г11у.т11 Объем шара и шарового сегмента.
   • Г11у.т17 Площадь поверхности цилиндра, конуса, площадь сферы и ее частей.
8. ЕГЭ
   задание 3
   пунктов: 2

   • ЕЭ7.3 Многогранники
   • ЕЭ7.4 Тела и поверхности вращения

7Подобные тела

отношение площадей подобных фигур → отношение объёмов подобных тел, гомотетия

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   нет в программе
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 1

   • Г8.т16 Отношение площадей подобных фигур.
5. 9 класс
   нет в программе
6. 10 класс
   пунктов: 2

   • Г10.т29 Подобные тела в пространстве.
   • Г10.т30 Соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных тел.
7. 11 класс
   пунктов: 7

   • Г11.8 Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объемами подобных тел.
   • Г11.т17 Подобные тела в пространстве.
   • Г11.т18 Соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных тел.
   • Г11у.7 Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объемами подобных тел.
   • Г11у.т18 Подобие в пространстве.
   • Г11у.т19 Отношение объемов, площадей поверхностей подобных фигур.
   • Г11у.т20 Преобразование подобия, гомотетия.
8. ЕГЭ
   задание 3
   пунктов: 2

   • ЕЭ7.3 Многогранники
   • ЕЭ7.4 Тела и поверхности вращения

• 8 класс — отношение площадей подобных фигур (вертикаль «Подобие» линии «Геометрия на плоскости»).

1Координаты и векторы

координатная прямая и плоскость → векторы и метод координат → координатно-векторный метод в пространстве

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   пунктов: 4

   • М6.6 Соотносить точки в прямоугольной системе координат с координатами этой точки.
   • М6.т31 Прямоугольная система координат на плоскости.
   • М6.т32 Координаты точки на плоскости, абсцисса и ордината.
   • М6.т33 Построение точек и фигур на координатной плоскости.
3. 7 класс
   пунктов: 6

   • А7.22 Изображать на координатной прямой точки, соответствующие заданным координатам, лучи, отрезки, интервалы, записывать числовые промежутки на алгебраическом языке.
   • А7.т30 Координата точки на прямой.
   • А7.т31 Числовые промежутки.
   • А7.т32 Расстояние между двумя точками координатной прямой.
   • А7.т33 Прямоугольная система координат, оси Ox и Oy.
   • А7.т34 Абсцисса и ордината точки на координатной плоскости.
4. 8 класс
   нет в программе
5. 9 класс
   пунктов: 9

   • Г9.6 Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический смысл, применять их в решении геометрических и физических задач. Применять скалярное произведение векторов для нахождения длин и углов.
   • Г9.7 Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в решении геометрических и практических задач.
   • Г9.т10 Вектор, длина (модуль) вектора, сонаправленные векторы, противоположно направленные векторы, коллинеарность векторов, равенство векторов, операции над векторами.
   • Г9.т11 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
   • Г9.т12 Координаты вектора.
   • Г9.т13 Скалярное произведение векторов, применение для нахождения длин и углов.
   • Г9.т14 Декартовы координаты на плоскости.
   • Г9.т15 Уравнения прямой и окружности в координатах, пересечение окружностей и прямых.
   • Г9.т16 Метод координат и его применение.
6. 10 класс
   пунктов: 16

   • Г10у.13 Свободно оперировать понятиями, соответствующими векторам и координатам в пространстве.
   • Г10у.14 Выполнять действия над векторами.
   • Г10у.т39 Понятия: вектор в пространстве, нулевой вектор, длина ненулевого вектора, векторы коллинеарные, сонаправленные и противоположно направленные векторы.
   • Г10у.т40 Равенство векторов.
   • Г10у.т41 Действия с векторами: сложение и вычитание векторов, сумма нескольких векторов, умножение вектора на число.
   • Г10у.т42 Свойства сложения векторов.
   • Г10у.т43 Свойства умножения вектора на число.
   • Г10у.т44 Понятие компланарные векторы.
   • Г10у.т45 Признак компланарности трех векторов.
   • Г10у.т46 Правило параллелепипеда.
   • Г10у.т47 Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
   • Г10у.т48 Прямоугольная система координат в пространстве.
   • Г10у.т49 Координаты вектора.
   • Г10у.т50 Связь между координатами вектора и координатами точек.
   • Г10у.т51 Угол между векторами.
   • Г10у.т52 Скалярное произведение векторов.
7. 11 класс
   пунктов: 30

   • Г11.12 Оперировать понятием вектор в пространстве.
   • Г11.13 Выполнять действия сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на число, объяснять, какими свойствами они обладают.
   • Г11.14 Применять правило параллелепипеда.
   • Г11.15 Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве, вектор, модуль вектора, равенство векторов, координаты вектора, угол между векторами, скалярное произведение векторов, коллинеарные и компланарные векторы.
   • Г11.16 Находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол между векторами, скалярное произведение, раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам.
   • Г11.17 Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат.
   • Г11.19 Решать простейшие геометрические задачи на применение векторно-координатного метода.
   • Г11.т20 Вектор на плоскости и в пространстве.
   • Г11.т21 Сложение и вычитание векторов.
   • Г11.т22 Умножение вектора на число.
   • Г11.т23 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
   • Г11.т24 Правило параллелепипеда.
   • Г11.т25 Решение задач, связанных с применением правил действий с векторами.
   • Г11.т26 Прямоугольная система координат в пространстве.
   • Г11.т27 Координаты вектора.
   • Г11.т28 Простейшие задачи в координатах.
   • Г11.т29 Угол между векторами.
   • Г11.т30 Скалярное произведение векторов.
   • Г11.т32 Координатно-векторный метод при решении геометрических задач.
   • Г11у.10 Свободно оперировать понятием вектор в пространстве.
   • Г11у.11 Выполнять операции над векторами.
   • Г11у.12 Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат.
   • Г11у.т23 Векторы в пространстве.
   • Г11у.т24 Операции над векторами.
   • Г11у.т25 Векторное умножение векторов.
   • Г11у.т26 Свойства векторного умножения.
   • Г11у.т27 Прямоугольная система координат в пространстве.
   • Г11у.т28 Координаты вектора.
   • Г11у.т29 Разложение вектора по базису.
   • Г11у.т30 Координатно-векторный метод при решении геометрических задач.
8. ЕГЭ
   задания 2, 15
   пунктов: 1

   • ЕЭ7.5 Координаты и векторы

• 7 класс — курс алгебры (координатная прямая и плоскость); на базовом уровне векторы в пространстве — 11 класс, на углублённом — 10.

2Симметрия и движения

осевая и центральная симметрия → движения плоскости → движения пространства

1. 5 класс
   нет в программе
2. 6 класс
   пунктов: 3

   • М6.21 Пользоваться геометрическими понятиями: равенство фигур, симметрия, использовать терминологию, связанную с симметрией: ось симметрии, центр симметрии.
   • М6.т64 Симметрия: центральная, осевая и зеркальная симметрии.
   • М6.т65 Построение симметричных фигур.
3. 7 класс
   пунктов: 3

   • Г7.т9 Симметричные фигуры.
   • Г7.т10 Основные свойства осевой симметрии.
   • Г7.т11 Примеры симметрии в окружающем мире.
4. 8 класс
   пунктов: 1

   • Г8.т7 Центральная симметрия.
5. 9 класс
   пунктов: 4

   • Г9.9 Находить оси (или центры) симметрии фигур, применять движения плоскости в простейших случаях.
   • Г9.т21 Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные представления).
   • Г9.т22 Параллельный перенос.
   • Г9.т23 Поворот.
6. 10 класс
   пунктов: 7

   • Г10.15 Оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры.
   • Г10.т22 Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, прямой, плоскости.
   • Г10.т23 Элементы симметрии в пирамидах, параллелепипедах, правильных многогранниках.
   • Г10у.12 Свободно оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры.
   • Г10у.т36 Симметрия в пространстве.
   • Г10у.т37 Элементы симметрии правильных многогранников.
   • Г10у.т38 Симметрия в правильном многограннике: симметрия параллелепипеда, симметрия правильных призм, симметрия правильной пирамиды.
7. 11 класс
   пунктов: 8

   • Г11у.14 Свободно оперировать понятиями, связанными с движением в пространстве, знать свойства движений.
   • Г11у.т31 Движения пространства.
   • Г11у.т32 Отображения.
   • Г11у.т33 Движения и равенство фигур.
   • Г11у.т34 Общие свойства движений.
   • Г11у.т35 Виды движений: параллельный перенос, центральная симметрия, зеркальная симметрия, поворот вокруг прямой.
   • Г11у.т36 Преобразования подобия.
   • Г11у.т37 Прямая и сфера Эйлера.
8. ЕГЭ
   нет в программе

• В кодификаторе ЕГЭ отдельного элемента нет; движения входят в требование ЕТ11.

3Геометрия в практических задачах

предметы окружающего мира → модели реальных ситуаций → многошаговые задачи и доказательства

1. 5 класс
   пунктов: 2

   • М5.13 Приводить примеры объектов окружающего мира, имеющих форму изученных геометрических фигур.
   • М5.22 Решать несложные задачи на измерение геометрических величин в практических ситуациях.
2. 6 класс
   пунктов: 2

   • М6.19 Приводить примеры объектов окружающего мира, имеющих форму изученных геометрических плоских и пространственных фигур, примеры равных и симметричных фигур.
   • М6.29 Решать несложные задачи на нахождение геометрических величин в практических ситуациях.
3. 7 класс
   нет в программе
4. 8 класс
   пунктов: 1

   • Г8.10 Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором).
5. 9 класс
   пунктов: 1

   • Г9.10 Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрических функций (пользуясь, где необходимо, калькулятором).
6. 10 класс
   пунктов: 8

   • Г10.17 Применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной форме.
   • Г10.18 Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении стереометрических задач.
   • Г10.19 Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать проявление законов геометрии в искусстве.
   • Г10.20 Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и применять изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.
   • Г10у.15 Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических величин, применяя известные методы при решении математических задач повышенного и высокого уровня сложности.
   • Г10у.16 Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении стереометрических задач.
   • Г10у.18 Применять полученные знания на практике: сравнивать и анализировать реальные ситуации, применять изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.
   • Г10у.19 Иметь представления об основных этапах развития геометрии как составной части фундамента развития технологий.
7. 11 класс
   пунктов: 11

   • Г11.18 Применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной форме.
   • Г11.20 Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные методы при решении стандартных математических задач.
   • Г11.21 Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении стереометрических задач.
   • Г11.22 Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать проявление законов геометрии в искусстве.
   • Г11.23 Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и применять изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.
   • Г11у.19 Применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной и неявной форме.
   • Г11у.20 Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических величин.
   • Г11у.21 Применять программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении стереометрических задач.
   • Г11у.22 Применять полученные знания на практике: сравнивать, анализировать и оценивать реальные ситуации, применять изученные понятия, теоремы, свойства в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.
   • Г11у.23 Иметь представления об основных этапах развития геометрии как составной части фундамента развития технологий.
   • Г11у.т21 Решение задач на плоскости с использованием стереометрических методов.
8. ЕГЭ
   нет в программе

• Общие умения курса геометрии: применение знаний, многошаговые задачи, программные средства.
• В ЕГЭ это умение проверяется во всех геометрических заданиях, поэтому отдельного номера нет.