ЕГЭ по математике, профильный уровень, вариант 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $AB = 25$, $AC = 15$. Найдите $AH$.

Даны векторы $\vec a(3;\ -4)$ и $\vec b(5;\ 2)$. Найдите скалярное произведение векторов $2\vec a - \vec b$ и $\vec b$.

Объём правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равен $30$. Точка $O$ — центр основания $A_1B_1C_1$. Найдите объём пирамиды $OABC$.

В коробке лежат 25 одинаковых на ощупь ручек: 9 синих, 6 красных, остальные чёрные. Найдите вероятность того, что случайно вытащенная ручка окажется не красной.

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60 % этих стёкол, вторая — 40 %. Первая фабрика выпускает 2 % бракованных стёкол, а вторая — 4 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Случайная величина $X$ задана таблицей распределения. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$.

Найдите корень уравнения $\log_3(5x - 1) = 2$.

Найдите значение выражения $\log_2 56 - \log_2 7 + 5^{\log_5 3}$.

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;\ 8)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-5;\ 7]$.

Мяч бросили вертикально вверх. Пока мяч не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой $h(t) = 1{,}6 + 8t - 5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч находился на высоте не менее $3$ метров?

Первая труба наполняет бак на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая вместе, наполняют этот бак за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот бак одна вторая труба?

На рисунке изображён график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$. Найдите $f(10)$.

В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Сколько тысяч рублей составит общая сумма выплат после полного погашения кредита? Ответ дайте в тысячах рублей.

а) Решите уравнение $2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$. б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]$. В поле ответа запишите корни из пункта б через точку с запятой.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны $6$. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$, точка $H$ — середина ребра $AB$. а) Докажите, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $CMH$. б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $ABM$. В поле ответа запишите ответ пункта б.

Решите неравенство $\dfrac{4^x - 5 \cdot 2^x + 4}{x - 1} \ge 0$.

Из квадратного листа жести со стороной 30 см нужно сделать открытую сверху коробку: по углам листа вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх. Какой наибольший объём может иметь такая коробка? В поле ответа запишите наибольший объём в кубических сантиметрах.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. а) Докажите, что треугольник $A_1B_1C$ подобен треугольнику $ABC$. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C$, если $AB = 12$ и $\cos \angle C = \dfrac{1}{3}$. В поле ответа запишите ответ пункта б.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2 - 2ax + a^2 - 4)\sqrt{5 - x} = 0$ имеет ровно два различных корня.

На доске написано $20$ различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру $3$. Сумма написанных чисел равна $500$. а) Может ли на доске быть ровно $14$ чётных чисел? б) Может ли на доске быть ровно $11$ чётных чисел? в) Какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на $3$, может быть на доске? В поле ответа запишите ответ пункта в.