ЕГЭ по математике, профильный уровень, вариант 2

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB = 6$ и $AD = 10$, а угол $A$ равен $30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Длины векторов $\vec a$ и $\vec b$ равны $3$ и $4$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec a + \vec b$ и $\vec a - 2\vec b$.

Объём конуса равен $48$. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём отсечённого конуса, вершина которого совпадает с вершиной данного.

В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 14 из России, 11 из Китая, остальные — из Японии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Японии.

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся.

Случайная величина $X$ задана таблицей распределения. Найдите дисперсию случайной величины $X$.

Найдите корень уравнения $\sqrt{2x + 8} = x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Найдите значение выражения $\dfrac{14 \sin 19^\circ}{\sin 341^\circ}$.

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0 = 80$ мг — начальная масса, $T = 5$ мин — период полураспада, $t$ — время в минутах. Через сколько минут масса вещества станет равной $5$ мг?

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = a^x + b$. Найдите $f(2)$.

В январе 2027 года на банковский вклад положили 500 000 рублей. Каждый декабрь банк начисляет 10 % на сумму, находящуюся на вкладе, а в январе каждого следующего года вкладчик пополняет вклад на 100 000 рублей. Сколько рублей будет на вкладе сразу после третьего начисления процентов? Ответ дайте в рублях.

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sin x = 0$. б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$. В поле ответа запишите корни из пункта б через точку с запятой.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $6$, а высота равна $6$. Точка $M$ — середина ребра $SC$. а) Докажите, что прямая $SA$ параллельна плоскости $BDM$. б) Найдите расстояние от прямой $SA$ до плоскости $BDM$. В поле ответа запишите ответ пункта б.

Решите неравенство $\log_{0{,}5}(x^2 - 5x + 6) \ge -1$.

Судно проходит путь $300$ км по реке с постоянной скоростью $v$ км/ч. Расходы на топливо за один час хода пропорциональны квадрату скорости: при скорости $10$ км/ч они составляют $400$ рублей в час. Остальные расходы (зарплата команды и т. п.) не зависят от скорости и равны $3600$ рублей в час. При какой скорости судна общие расходы на весь путь будут наименьшими? В поле ответа запишите скорость в км/ч.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке $W$. а) Докажите, что $WB = WC$. б) Найдите $WB$, если $BC = 8$ и $\angle BAC = 120^\circ$. В поле ответа запишите ответ пункта б.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $|x^2 - 6x + 5| = a + x$ имеет ровно три различных корня. В поле ответа запишите найденные значения $a$ через точку с запятой.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел, каждое из которых не больше $10$. Сумма задуманных чисел равна $60$, а сумма их квадратов равна $400$. а) Может ли быть задумано ровно $9$ чисел? б) Может ли быть задумано ровно $10$ чисел? в) Какое наибольшее количество чисел может быть задумано? В поле ответа запишите ответ пункта в.