ЕГЭ по математике, профильный уровень, вариант 3

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $47^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec a(4;\ 2)$ и $\vec b(-3;\ 1)$. Найдите длину вектора $3\vec a + 2\vec b$.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна $48$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет больше раз, чем решка.

Стрелок стреляет по мишени до первого попадания, но делает не больше трёх выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена.

Случайная величина $X$ задана таблицей распределения, математическое ожидание $X$ равно $3{,}4$. Найдите вероятность того, что $X = 5$.

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac14\right)^{x - 3} = 8$.

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{6{,}5} \cdot 5^{4{,}5}}{15^{5{,}5}}$.

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$, определённой на интервале $(-6;\ 6)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y = 4$.

Груз массой $0{,}08$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ (в м/с) меняется по закону $v = v_0 \cos\dfrac{2\pi t}{T}$, где $t$ — время в секундах, $T = 2$ с — период колебаний, $v_0 = 0{,}5$ м/с. Кинетическая энергия груза (в джоулях) вычисляется по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса груза (в кг). Какую долю времени первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее $5 \cdot 10^{-3}$ Дж? Ответ выразите десятичной дробью.

Катер прошёл 36 км по течению реки и 24 км против течения, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = \log_a (x + b)$. Найдите значение $x$, при котором $f(x) = 5$.

В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1 100 000 рублей. Условия возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами. Найдите сумму одного платежа. Ответ дайте в рублях.

а) Решите уравнение $2\sin^2 x + \sqrt3 \sin 2x = 0$. б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$. В поле ответа запишите корни из пункта б через точку с запятой.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $4$, а боковое ребро равно $4\sqrt2$. Точка $K$ — середина ребра $CC_1$. а) Докажите, что плоскость $BDK$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$. б) Найдите угол между плоскостью $BDK$ и плоскостью основания призмы. В поле ответа запишите ответ пункта б в градусах.

Решите неравенство $\dfrac{\log_2(x + 5) - 2}{x^2 - 9} \le 0$.

Прямоугольный загон площадью $1000\ \text{м}^2$ одной стороной примыкает к стене сарая, вдоль стены забор не нужен. Сторону, параллельную стене, делают из металлической сетки по $250$ рублей за метр, две другие стороны — из штакетника по $200$ рублей за метр. Найдите наименьшую возможную стоимость забора. В поле ответа запишите стоимость в рублях.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, касается гипотенузы $AB$ в точке $K$. а) Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна $AK \cdot KB$. б) Найдите радиус вписанной окружности, если $AK = 3$, $KB = 10$. В поле ответа запишите ответ пункта б.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2 - 4x - a^2 + 4a)\sqrt{x - 1} = 0$ имеет ровно три различных корня. В поле ответа запишите найденные значения $a$ промежутками.

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $6$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$. а) Может ли наименьшее из написанных чисел быть равным $3$? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел быть равным $11$? в) Найдите наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел. В поле ответа запишите ответ пункта в.