ЕГЭ по математике, профильный уровень, вариант 4

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, $AB = 12$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите высоту $CH$.

Даны векторы $\vec a(3;\ 4)$ и $\vec b(2;\ -1)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot (\vec a + \vec b)$.

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объём цилиндра равен $51$. Найдите объём конуса.

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что чайник прослужит больше года, но не больше двух лет.

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 % этих стёкол, вторая — 55 %. Первая фабрика выпускает 3 % бракованных стёкол, а вторая — 1 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Случайные величины $X$ и $Y$ таковы, что $E(X) = 3$, $E(Y) = -2$. Найдите математическое ожидание случайной величины $2X - 3Y + 1$.

Найдите корень уравнения $\sqrt{3x + 10} = x + 2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Найдите значение выражения $\dfrac{18 \sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 80^\circ}$.

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;\ 6)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ на этом интервале.

Мяч бросили вверх. Высота мяча (в метрах) меняется по закону $h(t) = 1{,}6 + 8t - 5t^2$, где $t$ — время в секундах с момента броска. Сколько секунд мяч находился на высоте не менее $3$ метров?

Имеется два сплава. Первый содержит 10 % меди, второй — 30 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 40 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 25 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 - 12x + 5$ на отрезке $[0;\ 3]$.

В начале года вкладчик положил в банк 600 000 рублей на три года под 10 % годовых (проценты начисляются в конце каждого года). В конце первого и в конце второго года, сразу после начисления процентов, вкладчик пополнял вклад на 100 000 рублей. Какая сумма будет на вкладе в конце третьего года после начисления процентов? Ответ дайте в рублях.

а) Решите уравнение $2\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$. В поле ответа запишите корни из пункта б) через точку с запятой.

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $4$. а) Докажите, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$. б) Найдите угол между прямой $A_1C$ и плоскостью $ABC$. В поле ответа запишите ответ пункта б).

Решите неравенство $\log_2 (x^2 - 4x) \le 5$. В поле ответа запишите решение в виде промежутков.

Предприятие выпускает $q$ тысяч изделий в месяц. Выручка (в тысячах рублей) равна $R(q) = (120 - 2q)q$, а издержки — $C(q) = 20q + 300$. При каком объёме выпуска прибыль предприятия будет наибольшей? Ответ дайте в тысячах изделий.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. а) Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны. б) Найдите $A_1C_1$, если $AC = 10$ и $\angle B = 60^\circ$. В поле ответа запишите ответ пункта б).

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = |x| + a \end{cases}$ имеет ровно два решения. В поле ответа запишите найденные значения $a$ в виде промежутков и чисел.

Задумано $10$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $100$. а) Может ли наибольшее из задуманных чисел быть равно $50$? б) Может ли наибольшее из задуманных чисел быть равно $70$? в) Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из задуманных чисел? В поле ответа запишите ответ пункта в).