ЕГЭ по математике, профильный уровень, вариант 5

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности, хорда $AB$ стягивает дугу, равную $110^\circ$, а точка $C$ лежит на другой дуге $AB$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

Длины векторов $\vec a$ и $\vec b$ равны $3$ и $5$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите длину вектора $\vec a + \vec b$.

Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $2$, $3$ и $6$. Найдите диагональ параллелепипеда.

Вертолёт доставляет 20 туристов на вершину горы четырьмя рейсами по 5 человек. Порядок, в котором туристы летят, определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что турист Петров полетит первым рейсом.

В помещении две лампы. Вероятность того, что лампа перегорит в течение года, равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Симметричную монету бросают $4$ раза. Случайная величина $X$ — число выпавших орлов. Найдите дисперсию $D(X)$.

Найдите корень уравнения $\log_5 (x^2 - 4x) = \log_5 (2x - 5)$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Найдите значение выражения $49^{\log_7 3}$.

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

При нагревании рельс удлиняется: его длина (в метрах) меняется по закону $l(t) = l_0(1 + \alpha t)$, где $l_0 = 12{,}5$ м — длина при $0\,^\circ\text{C}$, $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5}$ $(^\circ\text{C})^{-1}$ — коэффициент расширения, $t$ — температура. При какой температуре рельс удлинится на $3$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 240 км, одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью, на 12 км/ч меньшей скорости первого, а вторую половину — со скоростью 80 км/ч. В пункт B автомобили прибыли одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 50 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = a\sqrt{x} + b$. Найдите $f(25)$.

В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 3 года. Условия возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга так, чтобы долг на июль каждого года уменьшался на одну и ту же величину по сравнению с июлем предыдущего года. Найдите общую сумму выплат. Ответ дайте в рублях.

а) Решите уравнение $\sin 2x = \sqrt{3}\cos x$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$. В поле ответа запишите корни из пункта б) через точку с запятой.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $6$, а высота равна $4$. а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $SCD$. б) Найдите угол между плоскостью $SCD$ и плоскостью основания. В поле ответа запишите ответ пункта б).

Решите неравенство $\dfrac{4^x - 5 \cdot 2^x + 4}{2^x - 8} \le 0$. В поле ответа запишите решение в виде промежутков.

Издержки типографии на выпуск $x$ тысяч экземпляров книги равны $C(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 800$ тысяч рублей. При каком тираже средние издержки на тысячу экземпляров $\dfrac{C(x)}{x}$ будут наименьшими? Ответ дайте в тысячах экземпляров.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $M$. а) Докажите, что $AM = \dfrac{AB + AC - BC}{2}$. б) Найдите $AM$, если $AB = 13$, $AC = 14$, $BC = 15$. В поле ответа запишите ответ пункта б).

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x + 2} = x + a$ имеет ровно два различных корня. В поле ответа запишите найденные значения $a$ в виде промежутка.

В классе больше $10$, но не больше $30$ учащихся. За контрольную работу каждый получил одну из оценок $2$, $3$, $4$ или $5$, а средний балл оказался равен ровно $3{,}75$. а) Может ли в классе быть $13$ учащихся? б) Может ли в классе быть $16$ учащихся, если ровно двое из них получили двойки? в) В классе $28$ учащихся. Какое наибольшее количество из них могло получить пятёрки? В поле ответа запишите ответ пункта в).