ЕГЭ по математике, профильный уровень, вариант 6

Площадь треугольника $ABC$ равна $40$. $DE$ — средняя линия треугольника, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь треугольника $CDE$.

Даны векторы $\vec a(3;\ 4)$ и $\vec b(4;\ 3)$. Найдите косинус угла между ними.

Объём шара равен $36\pi$. Найдите радиус шара.

В соревнованиях по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов: 9 из Китая, 12 из России, остальные — из других стран. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Китая.

Вероятность того, что ученик A сдаст зачёт, равна 0,9, а ученик B — 0,8. Ученики сдают зачёт независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что зачёт сдаст ровно один из них.

Математическое ожидание случайной величины $X$ равно $2$, а дисперсия равна $3$. Найдите математическое ожидание случайной величины $X^2$.

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x - 2} = 27$.

Найдите значение выражения $\sqrt[3]{54} \cdot \sqrt[3]{4}$.

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;\ 6)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-4;\ 5]$.

Расстояние (в километрах) от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ км над землёй, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{2Rh}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии $48$ км? Ответ дайте в метрах.

Две бригады, работая вместе, выполняют заказ за 4 дня. Первая бригада, работая одна, выполняет заказ на 6 дней быстрее, чем вторая. За сколько дней выполнит заказ одна первая бригада?

На рисунке изображён график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$. Найдите $f(-9)$.

Банк начисляет на вклад 20 % годовых в конце каждого года. Вкладчик положил 500 000 рублей и не снимает деньги. Через сколько лет сумма на вкладе впервые превысит 1 000 000 рублей?

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sin x = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]$. В поле ответа запишите корни из пункта б) через точку с запятой.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $6$, а боковое ребро равно $9$. Точка $M$ — середина ребра $BC$. а) Докажите, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $AA_1M$. б) Найдите угол между плоскостью $A_1BC$ и плоскостью основания $ABC$. В поле ответа запишите ответ пункта б) в градусах.

Решите неравенство $\log_3 (x^2 - x - 2) \le \log_3 (x + 6)$. В поле ответа запишите решение в виде промежутков.

Прямоугольный участок площадью $1800\ \text{м}^2$ примыкает одной стороной к стене дома, а с трёх других сторон его огораживают забором. При какой наименьшей длине забора это возможно? Ответ дайте в метрах.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. а) Докажите, что $AC^2 = AH \cdot AB$. б) Найдите $BC$, если $AH = 9$ и $AB = 25$. В поле ответа запишите ответ пункта б).

Найдите все значения $a$, при каждом из которых оба корня уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$ принадлежат отрезку $[-2;\ 4]$. В поле ответа запишите найденные значения $a$ в виде промежутка.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, сумма которых равна $100$, причём любые два из них отличаются не меньше чем на $3$. а) Может ли на доске быть $7$ чисел? б) Может ли на доске быть $9$ чисел? в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске? В поле ответа запишите ответ пункта в).