Экстремумы функций с корнем и дробью

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

ЕГЭ профильный • 11 класс

Урок 2 из 2

Экстремумы функций с корнем и дробью

(задание 12 · Наибольшее и наименьшее значение функции)

Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока

Научиться находить точки экстремума функций с корнем, дробью и логарифмом.

Образовательные результаты (ФОП)

Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к построению графиков. (А11.16)
Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции, периодичность функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции, геометрический и физический смысл производной, первообразная, определённый интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических и физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью интеграла; приводить примеры математического моделирования с помощью дифференциальных уравнений (ЕТ4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.

1) Найдите точку минимума функции $y = x^{3} - 12x^{2} + 3$ .
2) Найдите значение функции $y = x^{3} - 108x + 9$ в точке максимума.

3. Изучаем новый материал

Производные

$\left(\dfrac{a}{x}\right)' = -\dfrac{a}{x^2}$ , $(x\sqrt{x})' = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$ , $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ .
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' ={}$ $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Пример

$y = x + \dfrac{49}{x}$ : $y' = \dfrac{x^2 - 49}{x^2}$ ; максимум $x = -7$ , минимум $x = 7$ .

Обратите внимание: Точка, где функция не определена (

x = 0

), не может быть точкой экстремума.

Разберём пример

Найдите точку минимума функции

y = x + \dfrac{144}{x} - 4

$y' = 1 - \dfrac{144}{x^{2}} ={}$ $\dfrac{x^{2} - 144}{x^{2}}$ .
$y' = 0$ при $x = \pm 12$ ; точка $x = 0$ не входит в область определения.
Производная положительна при $x < -12$ и $x > 12$ , отрицательна на $(-12; 0)$ и $(0; 12)$ .
Точка минимума: $x = 12$ .

Ответ: 12.

Способ. Как решать

Учитывайте область определения:

x \ne 0

в дроби,

x \ge 0

под корнем,

x > 0

под логарифмом.

→

Нули производной и точки, где она не определена, разбивают ось; знаки — по промежуткам.

4. Тренировка

Задания — по возрастанию сложности.

Базовый уровень

Время на выполнение: ≈10 мин

1) Точка минимума функции x + a²/x. Найдите точку минимума функции

y = x + \dfrac{64}{x} + 3

2) Точка максимума функции x + a²/x. Найдите точку максимума функции

y = x + \dfrac{16}{x} - 7

Средний уровень

Время на выполнение: ≈30 мин

3) Точка минимума функции с корнем. Найдите точку минимума функции

y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} - 9x - 13

4) Точка максимума дроби. Найдите точку максимума функции

y = \dfrac{x}{x^{2} + 36}

5) Точка минимума дроби. Найдите точку минимума функции

y = \dfrac{x}{x^{2} + 81}

6) Наименьшее значение функции x + a²/x. Найдите наименьшее значение функции

y = x + \dfrac{144}{x} + 9

на отрезке

[9; 17]

7) Точка минимума функции x − a·ln x. Найдите точку минимума функции

y = x - 5\ln x

Повышенный уровень

Время на выполнение: ≈21 мин

8) Наименьшее значение функции с корнем. Найдите наименьшее значение функции

y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} - 9x + 35

на отрезке

[1; 86]

9) Точка максимума с логарифмом. Найдите точку максимума функции

y = x^{2} - 22x + 60\ln x

10) Точка минимума с логарифмом. Найдите точку минимума функции

y = x^{2} - 22x + 56\ln x