MathGURU
УрокиВойти
← Наибольшее и наименьшее значение функции

Задачи вариантов

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

ЕГЭ профильный • 11 класс
Задачи вариантов
(задание 12 · Наибольшее и наименьшее значение функции)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
Научиться находить точки экстремума многочлена с помощью производной; находить точки экстремума функций с корнем, дробью и логарифмом; находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке; исследовать показательные и логарифмические функции с помощью производной; находить наибольшее и наименьшее значения тригонометрических функций.
Образовательные результаты (ФОП)
  • Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции, периодичность функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции, геометрический и физический смысл производной, первообразная, определённый интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических и физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью интеграла; приводить примеры математического моделирования с помощью дифференциальных уравнений (ЕТ4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) В ряд выписано 2222 натуральных числа так, что сумма любых трёх подряд идущих чисел не больше 99. а) Может ли сумма всех чисел равняться 6565? б) Может ли одно из чисел равняться 88? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы всех чисел. В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.
  2. 2) Имеется 1515 гирь массами 1,2,3,…,151, 2, 3, \ldots, 15 г. Их раскладывают на несколько кучек с равными массами (каждая гиря — ровно в одной кучке). а) Можно ли разложить гири на 77 кучек? б) Можно ли разложить гири на 66 кучек? в) Какое наибольшее количество кучек может получиться? В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.

3. Изучаем новый материал

Запиши главное по теме урока: определения, правила, формулы.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Результат: находить точки экстремума многочлена с помощью производной.
Время на выполнение: ≈20 мин
Образец решения
Найдите значение функции y=x3+9x2−10y = x^{3} + 9x^{2} - 10 в точке минимума.
  1. y′=3x2+18x=0y' = 3x^{2} + 18x = 0 при x=−6x = -6 и x=0x = 0.
  2. Точка минимума: x=0x = 0 (производная меняет знак с минуса на плюс).
  3. y(0)=−10y(0) = -10.
Ответ: -10.
1) Средний уровень. Найдите значение функции y=x3+9x2−10y = x^{3} + 9x^{2} - 10 в точке минимума.
2) Средний уровень. Найдите значение функции y=x3−108x+11y = x^{3} - 108x + 11 в точке максимума.
3) Средний уровень. Найдите положительную точку минимума функции y=x4−2x2+25y = x^{4} - 2x^{2} + 25.
4) Средний уровень. Найдите точку максимума функции y=x4−50x2−14y = x^{4} - 50x^{2} - 14.
5) Средний уровень. Найдите точку минимума функции y=−x3−12x2−45x−13y = -x^{3} - 12x^{2} - 45x - 13.
Результат: находить точки экстремума функций с корнем, дробью и логарифмом.
Время на выполнение: ≈32 мин
Образец решения
Найдите точку минимума функции y=xx2+49y = \dfrac{x}{x^{2} + 49}.
  1. y′=(x2+49)−2x2(x2+49)2=y' = \dfrac{(x^{2} + 49) - 2x^{2}}{(x^{2} + 49)^{2}} ={}49−x2(x2+49)2 \dfrac{49 - x^{2}}{(x^{2} + 49)^{2}}.
  2. y′=0y' = 0 при x=±7x = \pm 7; знаки: −-, ++, −-.
  3. Точка минимума: x=−7x = -7.
Ответ: -7.
6) Средний уровень. Найдите точку минимума функции y=xx2+49y = \dfrac{x}{x^{2} + 49}.
7) Средний уровень. Найдите точку максимума функции y=xx2+81y = \dfrac{x}{x^{2} + 81}.
8) Средний уровень. Найдите точку минимума функции y=23xx−3x+4y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} - 3x + 4.
9) Средний уровень. Найдите точку минимума функции y=x2−18x+40ln⁡xy = x^{2} - 18x + 40\ln x.
10) Средний уровень. Найдите точку максимума функции y=x+81x+20y = x + \dfrac{81}{x} + 20.
11) Средний уровень. Найдите точку максимума функции y=x2−28x+96ln⁡xy = x^{2} - 28x + 96\ln x.
12) Средний уровень. Найдите точку минимума функции y=x+81x+22y = x + \dfrac{81}{x} + 22.
13) Средний уровень. Найдите точку минимума функции y=x−10ln⁡xy = x - 10\ln x.
Результат: находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Время на выполнение: ≈28 мин
Образец решения
Найдите наименьшее значение функции y=x3−9x2−21x−6y = x^{3} - 9x^{2} - 21x - 6 на отрезке [0;10][0; 10].
  1. y′=3x2−18x−21=0y' = 3x^{2} - 18x - 21 = 0 при x=−1x = -1 и x=7x = 7.
  2. Отрезку принадлежат: x=7x = 7.
  3. Значения в критических точках и на концах: y(0)=−6y(0) = -6; y(7)=−251y(7) = -251; y(10)=−116y(10) = -116.
  4. Наименьшее из них: −251-251.
Ответ: -251.
14) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=x3−9x2−21x−6y = x^{3} - 9x^{2} - 21x - 6 на отрезке [0;10][0; 10].
15) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=−x3+3x2+24x−8y = -x^{3} + 3x^{2} + 24x - 8 на отрезке [−3;5][-3; 5].
16) Средний уровень. Найдите наибольшее значение функции y=x3−9x2−48x+7y = x^{3} - 9x^{2} - 48x + 7 на отрезке [−3;6][-3; 6].
17) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=(x−3)ex−2y = (x - 3)e^{x - 2} на отрезке [0;3][0; 3].
18) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=23xx−3x+7y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} - 3x + 7 на отрезке [1;14][1; 14].
19) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=x+64x+25y = x + \dfrac{64}{x} + 25 на отрезке [5;13][5; 13].
20) Средний уровень. Найдите наибольшее значение функции y=−x3+3x2+105x+13y = -x^{3} + 3x^{2} + 105x + 13 на отрезке [−6;9][-6; 9].
Результат: исследовать показательные и логарифмические функции с помощью производной.
Время на выполнение: ≈28 мин
Образец решения
Найдите точку минимума функции y=(x2−11x+25)exy = (x^{2} - 11x + 25)e^{x}.
  1. y′=(2x−11)ex+(x2−11x+25)ex=y' = (2x - 11)e^{x} + (x^{2} - 11x + 25)e^{x} ={}(x2−9x+14)ex (x^{2} - 9x + 14)e^{x}.
  2. y′=0y' = 0 при x=2x = 2 и x=7x = 7 (ex>0e^{x} > 0 при любом xx).
  3. Знаки производной: ++, −-, ++.
  4. Точка минимума: x=7x = 7.
Ответ: 7.
21) Средний уровень. Найдите точку минимума функции y=(x2−11x+25)exy = (x^{2} - 11x + 25)e^{x}.
22) Средний уровень. Найдите точку максимума функции y=(x2+6x+9)exy = (x^{2} + 6x + 9)e^{x}.
23) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=e2x−8ex+10y = e^{2x} - 8e^{x} + 10 на отрезке [0;3][0; 3].
24) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=2x2−4x+8y = 2^{x^{2} - 4x + 8}.
25) Средний уровень. Найдите точку минимума функции y=x−6ln⁡xy = x - 6\ln x.
26) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=(x+1)ex+2y = (x + 1)e^{x + 2} на отрезке [−4;−1][-4; -1].
27) Средний уровень. Найдите точку минимума функции y=x2−16x+14ln⁡xy = x^{2} - 16x + 14\ln x.
Результат: находить наибольшее и наименьшее значения тригонометрических функций.
Время на выполнение: ≈32 мин
Образец решения
Найдите наименьшее значение функции y=8sin⁡x+5x+5y = 8\sin x + 5x + 5 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
  1. y′=8cos⁡x+5>0y' = 8\cos x + 5 > 0 на отрезке.
  2. Функция возрастает, наименьшее значение — при x=0x = 0.
  3. y(0)=5y(0) = 5.
Ответ: 5.
28) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=8sin⁡x+5x+5y = 8\sin x + 5x + 5 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
29) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=20sin⁡x+8x+4y = 20\sin x + 8x + 4 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
30) Средний уровень. Найдите наибольшее значение функции y=10sin⁡x−13x+14y = 10\sin x - 13x + 14 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
31) Средний уровень. Найдите наибольшее значение функции y=10sin⁡x−12x−3y = 10\sin x - 12x - 3 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
32) Средний уровень. Найдите наибольшее значение функции y=5cos⁡x+6x+19y = 5\cos x + 6x + 19 на отрезке [−3π2;0]\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right].
33) Средний уровень. Найдите наибольшее значение функции y=16tg⁡x−16x+4π−10y = 16\tg x - 16x + 4\pi - 10 на отрезке [−π4;π4]\left[-\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{4}\right].
34) Средний уровень. Найдите наибольшее значение функции y=12cos⁡x+15x−7y = 12\cos x + 15x - 7 на отрезке [−3π2;0]\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right].
35) Средний уровень. Найдите наименьшее значение функции y=10cos⁡2x−4y = 10\cos^{2} x - 4 на отрезке [0;π2]\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].