MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Олимпиадная математика • 4 класс
Урок 2 из 4
Делимость и признаки
(Числа)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
Научиться находить закономерности и решать задачи с числами.

2. Разминка

Повторение пройденного: устно, быстро, без записи в тетради.
  1. 1) Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 1616?
  2. 2) У двузначного числа цифра десятков на 55 меньше цифры единиц, а сумма цифр равна 1313. Найдите это число.
  3. 3) Два отца и два сына купили мороженое, и каждому досталось по одной порции. Какое наименьшее число порций могло быть?

3. Изучаем новый материал

Признаки делимости

  • На 22 — последняя цифра чётная; на 55 — оканчивается на 00 или 55; на 1010 — на 00.
  • На 33 и на 99 — сумма цифр делится на 33 (на 99).

Чётность

  • Замена «++» на «−-» не меняет чётность суммы.
Разберём пример
Между числами 1,2,3,…,81, 2, 3, \ldots, 8 поставили знаки «++» и «−-» (перед 11 знака нет). Может ли значение выражения равняться 00? В ответ запишите «да» или «нет».
  1. Сумма всех чисел: 1+2+…+8=361 + 2 + … + 8 = 36.
  2. Замена «++» на «−-» перед числом aa уменьшает сумму на 2a2a — на чётное число, поэтому чётность значения не меняется.
  3. Сумма 3636 — чётная, значит, 00 может получиться (подходящая расстановка знаков существует).
Ответ: да.

4. Тренировка

Каждое задание тренирует свой образовательный результат — по возрастанию сложности.
Результат: находить закономерности и решать задачи с числами.
Время на выполнение: ≈27 мин
1) Базовый уровень. Какую наименьшую цифру можно поставить вместо звёздочки, чтобы число 77∗377*3 делилось на 99?
2) Базовый уровень. Можно ли набрать ровно 1818 р. одними монетами по 1010 р.? В ответ запишите «да» или «нет».
3) Базовый уровень. Сколько чисел от 11 до 169169 делятся на 99?
4) Средний уровень. Найдите наименьшее трёхзначное число, которое делится на 2727.
5) Повышенный уровень. Какой остаток даёт при делении на 99 число, записанное 1010 цифрами 88 подряд (8888…88888\ldots8)?
6) Повышенный уровень. Между числами 1,2,3,…,101, 2, 3, \ldots, 10 поставили знаки «++» и «−-» (перед 11 знака нет). Может ли значение выражения равняться 00? В ответ запишите «да» или «нет».
7) Повышенный уровень. Сколько делителей у числа 8080 (включая 11 и само число)?
8) Повышенный уровень. Сколькими способами можно заменить звёздочку цифрой в записи 597∗597\ast, чтобы число делилось на 66?
9) Повышенный уровень. Сколько чисел от 11 до 102102 делятся и на 55, и на 77?
10) Повышенный уровень. Сколько чисел от 11 до 198198 делятся на 66 или на 99 (хотя бы на одно из этих чисел)?
Запиши решение в клетчатом поле: