MathGURU
УрокиВойти
← К уроку
Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 1 из 3
§ 7. Пересечение, объединение, противоположное событие
(Глава 3. Операции над событиями)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • находить противоположное событие, пересечение и объединение
  • считать сложные события через противоположные и включения-исключения
Образовательные результаты (ФОП)
  • Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных событий, событие, противоположное данному событию, пользоваться диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей при решении задач. (В10.4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Баскетболист сделал 5050 бросков и попал 1515 раз. Найдите частоту попаданий.
  2. 2) Вероятность того, что новая батарейка неисправна, равна 0,120{,}12. Сколько неисправных батареек в среднем окажется в партии из 500500 штук?

3. Изучаем новый материал

Операции

  • A∩BA \cap B — наступают оба; A∪BA \cup B — хотя бы одно; Aˉ\bar A — A не наступает.
  • P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A) = 1 - P(A).
Обратите внимание: «Хотя бы один раз» удобно считать через противоположное «ни разу».

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: находить противоположное событие, пересечение и объединение.
Считаем исходы, где выполнены оба условия (A∩BA \cap B) или хотя бы одно (A∪BA \cup B); P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A) = 1 - P(A).
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,940{,}94. Найдите вероятность того, что он прослужит не больше года.
  1. События «больше года» и «не больше года» противоположны.
  2. P(Aˉ)=1−P(A)=1−0,94=0,06P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}94 = 0{,}06.
Ответ: 0,06.
1) Базовый уровень. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,960{,}96. Найдите вероятность того, что он прослужит не больше года.
2) Базовый уровень. Игральную кость бросают дважды. Событие AA — «сумма очков не меньше 1111», событие BB — «сумма очков чётна». Сколько элементарных событий благоприятствуют событию A∩BA \cap B?
3) Средний уровень. Вероятность события AA равна 0,560{,}56, вероятность того, что наступят и AA, и BB, равна 0,120{,}12. Найдите вероятность того, что наступит AA, но не наступит BB.
Навык 2: считать сложные события через противоположные и включения-исключения.
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|; «ровно одно» =∣A∣+∣B∣−2∣A∩B∣= |A| + |B| - 2|A \cap B|; «ни A, ни B» — противоположно A∪BA \cup B.
Время на выполнение: ≈13 мин
Образец решения
P(A)=0,48P(A) = 0{,}48, P(B)=0,23P(B) = 0{,}23, P(A∩B)=0,19P(A \cap B) = 0{,}19. Найдите вероятность того, что не наступит ни AA, ни BB.
  1. P(A∪B)=0,48+0,23−0,19=0,52P(A \cup B) = 0{,}48 + 0{,}23 - 0{,}19 = 0{,}52.
  2. «Ни AA, ни BB» — событие, противоположное A∪BA \cup B.
  3. P=1−0,52=0,48P = 1 - 0{,}52 = 0{,}48.
Ответ: 0,48.
4) Средний уровень. P(A)=0,37P(A) = 0{,}37, P(B)=0,4P(B) = 0{,}4, P(A∩B)=0,07P(A \cap B) = 0{,}07. Найдите вероятность того, что не наступит ни AA, ни BB.
5) Средний уровень. Монету бросают 44 раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
6) Повышенный уровень. Сколько чисел от 11 до 120120 делятся хотя бы на одно из чисел 22, 33, 55?