MathGURU
УрокиВойти
← Глава 5. Элементы комбинаторики

§ 15. Перестановки и факториал

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 2 из 5
§ 15. Перестановки и факториал
(Глава 5. Элементы комбинаторики)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • считать перестановки и сокращать факториалы
  • считать перестановки с условиями
Образовательные результаты (ФОП)
  • Применять комбинаторное правило умножения при решении задач. (В10.6)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) У Веры 33 блузки, 44 юбки и 33 пары туфель. Сколькими способами она может выбрать наряд из блузки, юбки и пары туфель?
  2. 2) Кодовый замок открывается комбинацией из 44 цифр, каждая от 00 до 99 (цифры могут повторяться). Сколько существует комбинаций?

3. Изучаем новый материал

Перестановки

  • n!=1⋅2⋯nn! = 1 \cdot 2 \cdots n — число способов расставить nn предметов.
  • 0!=10! = 1; n!(n−1)!=n\dfrac{n!}{(n-1)!} = n.

С повторениями

  • Слово с повторяющимися буквами: n!k1!k2!…\dfrac{n!}{k_1! k_2! \ldots}.
Обратите внимание: За круглым столом: (n−1)!(n - 1)! — повороты не различаются.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: считать перестановки и сокращать факториалы.
66 книг — 720720 расстановок; 10!8!=9⋅10=90\dfrac{10!}{8!} = 9 \cdot 10 = 90.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Сколькими способами можно расставить на полке 88 разных книг?
  1. Первую книгу выбираем 88 способами, вторую — 77, и так далее.
  2. 8!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8=403208! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 40320.
Ответ: 40320.
1) Базовый уровень. Сколькими способами можно расставить на полке 77 разных книг?
2) Базовый уровень. Вычислите 15!13!\dfrac{15!}{13!}.
3) Средний уровень. 55 человек садятся в ряд. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы двое определённых людей НЕ сидели рядом?
Навык 2: считать перестановки с условиями.
Двое рядом — «блок»: 2⋅(n−1)!2 \cdot (n - 1)!; не рядом — все минус рядом; буквы МАМА — 4!2!⋅2!=6\dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6.
Время на выполнение: ≈14 мин
Образец решения
55 спортсменов выходят на парад по одному. Сколько существует порядков выхода, при которых два капитана идут первым и последним?
  1. Капитаны занимают первое и последнее места: 22 способа.
  2. Остальные 33 — в любом порядке: (3)!=6(3)! = 6.
  3. 2⋅6=122 \cdot 6 = 12.
Ответ: 12.
4) Средний уровень. 44 спортсмена выходят на парад по одному. Сколько существует порядков выхода, при которых два капитана идут первым и последним?
5) Повышенный уровень. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы слова «ШАЛАШ»?
6) Повышенный уровень. Найдите натуральное nn, если (n+1)!(n−1)!=90\dfrac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = 90.