MathGURU
УрокиВойти
← Глава 5. Элементы комбинаторики

§ 16. Число сочетаний. Треугольник Паскаля

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 3 из 5
§ 16. Число сочетаний. Треугольник Паскаля
(Глава 5. Элементы комбинаторики)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • вычислять число сочетаний
  • применять свойства сочетаний и треугольник Паскаля
Образовательные результаты (ФОП)
  • Применять комбинаторное правило умножения при решении задач. (В10.6)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Вычислите 9!8!\dfrac{9!}{8!}.
  2. 2) Сколькими способами можно расставить на полке 66 разных книг?

3. Изучаем новый материал

Сочетания

  • Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} — выбор kk из nn без порядка.
  • Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k}, Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}.

Треугольник Паскаля

  • Строка nn: Cn0,…,CnnC_n^0, \ldots, C_n^n; сумма строки 2n2^n.
Обратите внимание: Рукопожатия nn человек — Cn2=n(n−1)2C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: вычислять число сочетаний.
C83=8⋅7⋅63!=56C_8^3 = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = 56; два дежурных из 1010 — C102=45C_{10}^2 = 45.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Сколькими способами можно выбрать 33 дежурных из 1010 учеников?
  1. Порядок выбора не важен — считаем число сочетаний.
  2. C103=10!3!⋅7!=120C_{10}^{3} = \dfrac{10!}{3! \cdot 7!} = 120.
Ответ: 120.
1) Базовый уровень. Сколькими способами можно выбрать 22 дежурных из 88 учеников?
2) Базовый уровень. Вычислите C172C_{17}^{2}.
3) Средний уровень. Каждый из 3030 участников встречи пожал руку каждому другому по одному разу. Сколько было рукопожатий?
Навык 2: применять свойства сочетаний и треугольник Паскаля.
C2018=C202=190C_{20}^{18} = C_{20}^2 = 190; «хотя бы одна девочка» — все команды минус команды без девочек.
Время на выполнение: ≈18 мин
Образец решения
Вычислите C2724C_{27}^{24}.
  1. Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k}, поэтому C2724=C273C_{27}^{24} = C_{27}^{3}.
  2. C273=2925C_{27}^{3} = 2925.
Ответ: 2925.
4) Средний уровень. Вычислите C1512C_{15}^{12}.
5) Средний уровень. Известно, что C193=969C_{19}^{3} = 969 и C194=3876C_{19}^{4} = 3876. Найдите C204C_{20}^{4}.
6) Повышенный уровень. Найдите сумму всех чисел строки номер 55 треугольника Паскаля.
7) Повышенный уровень. Сколько диагоналей у выпуклого 1111-угольника?