MathGURU
УрокиВойти
← Глава 6. Испытания Бернулли

§ 19. Испытания до первого успеха

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 1 из 2
§ 19. Испытания до первого успеха
(Глава 6. Испытания Бернулли)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • находить вероятность первого успеха на данной попытке
  • решать задачи с ограниченным числом попыток
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний, успех и неудача, находить вероятности событий в серии независимых испытаний до первого успеха, находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли. (В10.7)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Из 1616 учеников, среди которых 44 отличника, наугад выбирают 22. Найдите вероятность того, что все выбранные — отличники.
  2. 2) 1010 человек в случайном порядке садятся в ряд. Найдите вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.

3. Изучаем новый материал

Формулы

  • Первый успех на kk-м испытании: qk−1pq^{k-1} p.
  • Больше kk попыток: qkq^k; не больше kk: 1−qk1 - q^k.
Обратите внимание: Прошлые неудачи не влияют на будущие: испытания независимы.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: находить вероятность первого успеха на данной попытке.
p=0,3p = 0{,}3: первый успех на третьей попытке — 0,72⋅0,3=0,1470{,}7^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}147.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Баскетболист бросает мяч до первого попадания, вероятность попадания при каждом броске 0,40{,}4. Найдите вероятность того, что понадобится ровно 33 броска.
  1. Первые 22 — промахи, 33-й — попадание.
  2. (0,6)2⋅0,4=0,144(0{,}6)^{2} \cdot 0{,}4 = 0{,}144.
Ответ: 0,144.
1) Базовый уровень. Баскетболист бросает мяч до первого попадания, вероятность попадания при каждом броске 0,80{,}8. Найдите вероятность того, что понадобится ровно 33 броска.
2) Базовый уровень. Ученик звонит другу, пока не дозвонится; при каждом звонке он дозванивается с вероятностью 0,20{,}2. Найдите вероятность того, что потребуется больше 33 звонков.
3) Средний уровень. Игральную кость бросают до первой шестёрки. Найдите вероятность того, что шестёрка впервые выпадет при 22-м броске. Ответ округлите до тысячных.
Навык 2: решать задачи с ограниченным числом попыток.
nn попыток — успех с вероятностью 1−qn1 - q^n; все патроны израсходованы — первые n−1n - 1 промахов, qn−1q^{n-1}.
Время на выполнение: ≈13 мин
Образец решения
Охотник стреляет до первого попадания, вероятность попадания 0,30{,}3. Найдите вероятность того, что потребуется от 22 до 44 выстрелов включительно.
  1. Складываем вероятности первого успеха на попытках 2,…,42, \ldots, 4.
  2. Это (0,7)1−(0,7)4=0,4599(0{,}7)^{1} - (0{,}7)^{4} = 0{,}4599.
Ответ: 0,4599.
4) Средний уровень. Охотник стреляет до первого попадания, вероятность попадания 0,60{,}6. Найдите вероятность того, что потребуется от 22 до 44 выстрелов включительно.
5) Средний уровень. У студента 33 попытки сдать зачёт, при каждой он сдаёт с вероятностью 0,80{,}8 (независимо). Найдите вероятность того, что студент сдаст зачёт.
6) Повышенный уровень. Вероятность успеха в одной попытке 0,20{,}2. Какое наименьшее число попыток нужно предусмотреть, чтобы с вероятностью не меньше 0,950{,}95 успех наступил?