← Глава 7. Случайные величины и распределения

§ 22. Геометрическое и биномиальное распределения

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 10 класс

Урок 2 из 2

§ 22. Геометрическое и биномиальное распределения

(Глава 7. Случайные величины и распределения)

Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока

На уроке научимся:

находить вероятности значений геометрического и биномиального распределений
исследовать распределения: хвосты, моду, условия

Образовательные результаты (ФОП)

Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма распределения. (В10.8)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.

1) Распределение случайной величины $X$ задано таблицей. Найдите $P(X \ge 2)$ .
$X$ 0 1 2 3
$P$ 0{,}14 0{,}2 0{,}17 0{,}49
2) Случайная величина $X$ задана таблицей распределения. Найдите пропущенную вероятность.
$X$ 1 2 3 4
$P$ 0{,}09 0{,}15 0{,}14 ?

$X$	0	1	2	3
$P$	0{,}14	0{,}2	0{,}17	0{,}49

$X$	1	2	3	4
$P$	0{,}09	0{,}15	0{,}14	?

3. Изучаем новый материал

Геометрическое

$X$ — номер первого успеха: $P(X = k) = q^{k-1}p$ .

Биномиальное

$X$ — число успехов в $n$ испытаниях: $P(X = k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ .

Обратите внимание: Наиболее вероятное значение биномиального — около

np

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.

Навык 1: находить вероятности значений геометрического и биномиального распределений.

Подставляем в формулы:

P(X = 3) = q^2 p

(геометрическое),

C_n^k p^k q^{n-k}

(биномиальное).

Время на выполнение: ≈10 мин

Образец решения

X

— номер первого успешного испытания в серии с вероятностью успеха

0{,}2

(геометрическое распределение). Найдите

P(X = 3)

$P(X = k) = q^{k-1} p$ .
$(0{,}8)^{2} \cdot 0{,}2 = 0{,}128$ .

Ответ: 0,128.

1) Базовый уровень.

X

— номер первого успешного испытания в серии с вероятностью успеха

0{,}3

(геометрическое распределение). Найдите

P(X = 3)

2) Базовый уровень. Случайная величина

X

имеет биномиальное распределение с параметрами

n = 4

p = 0{,}1

. Найдите

P(X = 1)

3) Средний уровень.

X

имеет геометрическое распределение с вероятностью успеха

0{,}6

. Найдите

P(X > 3)

Навык 2: исследовать распределения: хвосты, моду, условия.

P(X > k) = q^k

; отношение

\dfrac{P(k+1)}{P(k)} ={}

\dfrac{n-k}{k+1} \cdot \dfrac pq

показывает, где вероятности растут.

Время на выполнение: ≈14 мин

Образец решения

X

имеет геометрическое распределение с вероятностью успеха

0{,}4

. Найдите вероятность того, что

X

— чётное число. Ответ округлите до сотых.

$P = qp + q^3p + q^5p + \ldots = \dfrac{qp}{1 - q^2}$ .
$= \dfrac{0{,}24}{0{,}64} = 0{,}38$ .

Ответ: 0,38.

4) Средний уровень.

X

имеет геометрическое распределение с вероятностью успеха

0{,}3

. Найдите вероятность того, что

X

— чётное число. Ответ округлите до сотых.

5) Повышенный уровень.

X

имеет геометрическое распределение с вероятностью успеха

0{,}8

. Известно, что

X > 3

. Найдите

P(X = 5 \mid X > 3)

6) Повышенный уровень.

X

распределена биномиально с параметрами

n = 3

p = 0{,}8

. Найдите

P(1 \le X \le 2)