MathGURU
УрокиВойти
← Глава 1. Математическое ожидание

§ 3. Ожидание бинарной величины и суммы величин

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 11 класс
Урок 3 из 3
§ 3. Ожидание бинарной величины и суммы величин
(Глава 1. Математическое ожидание)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • применять линейность математического ожидания
  • считать ожидание через сумму бинарных величин
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры, как применяется математическое ожидание случайной величины находить математическое ожидание по данному распределению. (В11.2)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Правильный кубик заменили правильным 1010-гранником, на гранях которого числа от 11 до 1010. Найдите математическое ожидание выпавшего числа.
  2. 2) В игре выигрыш 10001000 руб. выпадает с вероятностью 0,150{,}15, иначе игрок ничего не получает. При какой цене участия игра справедлива (ожидаемый выигрыш равен цене)?

3. Изучаем новый материал

Свойства

  • Бинарная величина: EX=pEX = p.
  • E(X+Y)=EX+EYE(X + Y) = EX + EY; E(aX+b)=aEX+bE(aX + b) = aEX + b.
  • Для независимых: E(XY)=EX⋅EYE(XY) = EX \cdot EY.
Обратите внимание: Число успехов — сумма бинарных величин: ожидание равно сумме вероятностей.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: применять линейность математического ожидания.
EX=3EX = 3: E(2X+5)=11E(2X + 5) = 11; сумма очков 44 костей — 4⋅3,5=144 \cdot 3{,}5 = 14.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Бинарная случайная величина XX равна 11, если стрелок попал (вероятность 0,540{,}54), и 00 при промахе. Найдите EXEX.
  1. EX=1⋅0,54+0⋅0,46EX = 1 \cdot 0{,}54 + 0 \cdot 0{,}46.
  2. EX=0,54EX = 0{,}54 — ожидание бинарной величины равно вероятности успеха.
Ответ: 0,54.
1) Базовый уровень. Бинарная случайная величина XX равна 11, если стрелок попал (вероятность 0,290{,}29), и 00 при промахе. Найдите EXEX.
2) Базовый уровень. EX=−4,4EX = -4{,}4, EY=2,3EY = 2{,}3. Найдите E(X+Y)E(X + Y).
3) Средний уровень. EX=6EX = 6. Найдите E(4X−1)E(4X - 1).
Навык 2: считать ожидание через сумму бинарных величин.
Число совпадений, пар, решивших задачу — сумма индикаторов, ожидание — сумма их вероятностей.
Время на выполнение: ≈13 мин
Образец решения
Бросают 66 игральных костей и 55 монет; за каждого орла добавляют 11 очко. Найдите математическое ожидание общего числа очков.
  1. Кости: 6⋅3,5=216 \cdot 3{,}5 = 21.
  2. Монеты: 5⋅0,5=2,55 \cdot 0{,}5 = 2{,}5.
  3. Всего: 23,523{,}5.
Ответ: 23,5.
4) Средний уровень. Бросают 22 игральные кости и 99 монет; за каждого орла добавляют 11 очко. Найдите математическое ожидание общего числа очков.
5) Средний уровень. Выручка магазина за день — случайная величина XX с ожиданием 183183 тыс. руб., расходы — YY с ожиданием 120120 тыс. руб. Найдите ожидаемую прибыль X−YX - Y.
6) Повышенный уровень. XX и YY независимы, EX=1,3EX = 1{,}3, EY=2,2EY = 2{,}2. Найдите E(XY)E(XY).