§ 4. Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 11 класс

Урок 1 из 2

§ 4. Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины

(Глава 2. Дисперсия случайной величины)

Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока

На уроке научимся:

вычислять дисперсию по таблице распределения
применять свойства дисперсии

Образовательные результаты (ФОП)

Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или с помощью диаграмм. (В11.1)
Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры, как применяется математическое ожидание случайной величины находить математическое ожидание по данному распределению. (В11.2)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.

1) $EX = 7{,}4$ , $EY = 4$ . Найдите $E(X + Y)$ .
2) В игре выигрыш $1000$ руб. выпадает с вероятностью $0{,}15$ , иначе игрок ничего не получает. При какой цене участия игра справедлива (ожидаемый выигрыш равен цене)?

3. Изучаем новый материал

Формулы

$DX = E(X - EX)^2 = E(X^2) - (EX)^2$ , $\sigma = \sqrt{DX}$ .
$D(aX + b) = a^2 DX$ ; для независимых $D(X \pm Y) = DX + DY$ .

Обратите внимание: Бинарная величина:

DX = pq

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.

Навык 1: вычислять дисперсию по таблице распределения.

X = \pm 2

с вероятностями

\dfrac12

EX = 0

DX = 4

\sigma = 2

Время на выполнение: ≈10 мин

Образец решения

Найдите дисперсию случайной величины

X

, заданной таблицей распределения.

$X$	1	3	6
$P$	0{,}15	0{,}7	0{,}15

$EX = 3{,}15$ .
$DX = \sum (x_i - EX)^2 p_i$ .
$DX = 1{,}9275$ .

Ответ: 1,9275.

1) Базовый уровень. Найдите дисперсию случайной величины

X

, заданной таблицей распределения.

$X$	0	3	6
$P$	0{,}4	0{,}55	0{,}05

2) Базовый уровень. Бинарная величина

X

равна

1

с вероятностью

0{,}64

0

иначе. Найдите

DX

3) Средний уровень.

DX = 3{,}5

. Найдите

D(3X + 3)

Навык 2: применять свойства дисперсии.

D(3X + 1) = 9DX

; дисперсия среднего

n

независимых величин в

n

раз меньше.

Время на выполнение: ≈13 мин

Образец решения

X

Y

независимы,

DX = 4{,}7

DY = 2{,}4

. Найдите

D(X + Y)

Для независимых величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий.
$4{,}7 + 2{,}4 = 7{,}1$ .

Ответ: 7,1.

4) Средний уровень.

X

Y

независимы,

DX = 4{,}6

DY = 1{,}5

. Найдите

D(X + Y)

5) Средний уровень. У величин

X

Y

одинаковые ожидания. У какой разброс больше? Запишите

1

для

X

или

2

для

Y

$X$	-2	2
$P$	0{,}5	0{,}5

$Y$	-4	0	4
$P$	0{,}25	0{,}5	0{,}25

6) Повышенный уровень.

X

Y

независимы,

DX = 1{,}3

DY = 2{,}7

. Найдите

D(X - Y)