MathGURU
УрокиВойти
← Глава 3. Закон больших чисел и выборочный метод

§ 6. Закон больших чисел

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 11 класс
Урок 1 из 2
§ 6. Закон больших чисел
(Глава 3. Закон больших чисел и выборочный метод)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • оценивать результат длинной серии
  • применять неравенство Чебышёва
Образовательные результаты (ФОП)
  • Иметь представление о законе больших чисел. (В11.3)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) XX — число успехов в 2020 испытаниях Бернулли, p=0,7p = 0{,}7. Найдите DXDX.
  2. 2) Стрелок стреляет до первого попадания, вероятность попадания 0,050{,}05. Найдите математическое ожидание числа выстрелов.

3. Изучаем новый материал

Закон больших чисел

  • Среднее многих независимых одинаковых величин близко к их ожиданию.
  • Частота события близка к его вероятности.

Неравенство Чебышёва

  • P(∣X−EX∣≥ε)≤P(|X - EX| \ge \varepsilon) \le{}DXε2 \dfrac{DX}{\varepsilon^2}; для частоты pqnε2\dfrac{pq}{n\varepsilon^2}.
Обратите внимание: Дисперсия частоты pqn\dfrac{pq}{n} уменьшается с ростом nn.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: оценивать результат длинной серии.
Вероятность 0,30{,}3, 10001000 опытов — около 300300 наступлений; среднее значений стремится к EXEX.
Время на выполнение: ≈10 мин
Образец решения
Вероятность события равна 0,470{,}47. Опыт повторили 1000010000 раз. Около какого числа, согласно закону больших чисел, окажется число наступлений события?
  1. Частота события в длинной серии близка к вероятности.
  2. 10000⋅0,47=470010000 \cdot 0{,}47 = 4700.
Ответ: 4700.
1) Базовый уровень. Вероятность события равна 0,340{,}34. Опыт повторили 1000010000 раз. Около какого числа, согласно закону больших чисел, окажется число наступлений события?
2) Базовый уровень. Случайная величина XX задана таблицей. Опыт повторяют много раз и считают среднее арифметическое полученных значений. К какому числу оно приближается?
XX259
PP0{,}10{,}650{,}25
3) Средний уровень. Дисперсия случайной величины XX равна 2020. Оцените сверху вероятность того, что XX отклонится от своего ожидания не меньше чем на 55 (неравенство Чебышёва).
Навык 2: применять неравенство Чебышёва.
DX=4DX = 4, ε=5\varepsilon = 5: вероятность отклонения не больше 425=0,16\dfrac{4}{25} = 0{,}16.
Время на выполнение: ≈13 мин
Образец решения
Измерение содержит случайную ошибку с дисперсией 1515. Сделали 55 независимых измерений и взяли среднее. Найдите дисперсию среднего.
  1. Дисперсия среднего 55 независимых величин в 55 раз меньше.
  2. 155=3\dfrac{15}{5} = 3.
Ответ: 3.
4) Средний уровень. Измерение содержит случайную ошибку с дисперсией 1111. Сделали 100100 независимых измерений и взяли среднее. Найдите дисперсию среднего.
5) Средний уровень. Ожидаемый выигрыш игрока в одной партии равен −0,08-0{,}08 руб. Каким примерно окажется суммарный результат игрока за 100100 партий?
6) Повышенный уровень. Событие с вероятностью 0,10{,}1 наблюдают в 20002000 опытах. Оцените снизу вероятность того, что частота отличается от 0,10{,}1 меньше чем на 0,050{,}05.