MathGURU
УрокиВойти
← Глава 4. Непрерывные случайные величины

§ 9. Плотность распределения

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 11 класс
Урок 2 из 3
§ 9. Плотность распределения
(Глава 4. Непрерывные случайные величины)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • находить вероятность как площадь под плотностью
  • находить параметры плотности и характеристики
Образовательные результаты (ФОП)
  • Иметь представление о нормальном распределении. (В11.4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Случайная величина XX равномерно распределена на отрезке [0;10][0; 10]. Найдите P(8≤X≤10)P(8 \le X \le 10).
  2. 2) Автобус ходит каждые 2525 минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент. Найдите вероятность того, что он будет ждать не больше 33 минут.

3. Изучаем новый материал

Плотность

  • Вероятность попасть в промежуток — площадь под графиком плотности.
  • Вся площадь под графиком равна 11.
Обратите внимание: Для f(x)=2xb2f(x) = \dfrac{2x}{b^2} на [0;b][0; b]: P(X≤t)=t2b2P(X \le t) = \dfrac{t^2}{b^2}.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: находить вероятность как площадь под плотностью.
Ступенчатая плотность — сумма площадей прямоугольников, треугольная — площадь треугольника.
Время на выполнение: ≈11 мин
Образец решения
Плотность распределения XX постоянна на отрезке [4;24][4; 24] и равна нулю вне его. Найдите значение плотности на отрезке.
  1. Площадь под графиком плотности равна 11.
  2. c⋅(24−4)=1c \cdot (24 - 4) = 1, c=0,05c = 0{,}05.
Ответ: 0,05.
1) Базовый уровень. Плотность распределения XX постоянна на отрезке [0;20][0; 20] и равна нулю вне его. Найдите значение плотности на отрезке.
2) Средний уровень. Плотность XX равна 0,10{,}1 на [0;2][0; 2] и 0,20{,}2 на (2;6](2; 6]. Найдите P(X≤5)P(X \le 5).
3) Средний уровень. Плотность XX на отрезке [0;10][0; 10] имеет вид f(x)=kxf(x) = kx, вне отрезка — 00. Найдите kk.
Навык 2: находить параметры плотности и характеристики.
Параметр — из условия «площадь равна 11»; медиана — точка, где площадь слева равна 0,50{,}5.
Время на выполнение: ≈14 мин
Образец решения
Плотность XX равна f(x)=2x25f(x) = \dfrac{2x}{25} на [0;5][0; 5]. Найдите P(X>1)P(X > 1).
  1. P(X≤1)=1225=0,04P(X \le 1) = \dfrac{1^2}{25} = 0{,}04.
  2. P(X>1)=1−0,04=0,96P(X > 1) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96.
Ответ: 0,96.
4) Средний уровень. Плотность XX равна f(x)=2x16f(x) = \dfrac{2x}{16} на [0;4][0; 4]. Найдите P(X>3)P(X > 3).
5) Повышенный уровень. Плотность XX равна f(x)=2x25f(x) = \dfrac{2x}{25} на [0;5][0; 5]. Найдите P(1≤X≤4)P(1 \le X \le 4).
6) Повышенный уровень. График плотности XX симметричен относительно прямой x=9x = 9, плотность положительна только на [5;13][5; 13]. Найдите EXEX.