Внутренняя общая касательная и диаметры

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m : n$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m : n$. Доказательство (одно обоснование пропущено): Пусть $A$ и $B$ — точки касания, $O$ — точка пересечения $IJ$ и $AB$. $\angle IAO = \angle JBO = 90^\circ$, так как [?]. $\angle AOI = \angle BOJ$ как вертикальные, поэтому прямоугольные треугольники $AOI$ и $BOJ$ подобны: $\dfrac{IA}{JB} = \dfrac{IO}{JO} = \dfrac{m}{n}$. Радиусы, а значит, и диаметры относятся как $m : n$. Какое обоснование пропущено на месте [?]?