MathGURU
УрокиВойти
← Точки экстремума

Экстремумы многочленов

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

ЕГЭ профильный • 11 класс
Урок 1 из 2
Экстремумы многочленов
(задание 12 · Наибольшее и наименьшее значение функции)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
Научиться находить точки экстремума многочлена с помощью производной.
Образовательные результаты (ФОП)
  • Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к построению графиков. (А11.16)
  • Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции, периодичность функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции, геометрический и физический смысл производной, первообразная, определённый интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических и физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью интеграла; приводить примеры математического моделирования с помощью дифференциальных уравнений (ЕТ4)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) В ряд выписано 2222 натуральных числа так, что сумма любых трёх подряд идущих чисел не больше 99. а) Может ли сумма всех чисел равняться 6565? б) Может ли одно из чисел равняться 88? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы всех чисел. В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.
  2. 2) Имеется 1515 гирь массами 1,2,3,…,151, 2, 3, \ldots, 15 г. Их раскладывают на несколько кучек с равными массами (каждая гиря — ровно в одной кучке). а) Можно ли разложить гири на 77 кучек? б) Можно ли разложить гири на 66 кучек? в) Какое наибольшее количество кучек может получиться? В поле ответа запишите ответ пункта в). Ответы пунктов а) и б) сверьте с решением.

3. Изучаем новый материал

Правило

  • Точки экстремума — нули производной, в которых она меняет знак.
  • Знак меняется с «++» на «−-» — точка максимума, с «−-» на «++» — точка минимума.

Пример

  • y=x3−3x2−9x+4y = x^3 - 3x^2 - 9x + 4: y′=3(x+1)(x−3)y' = 3(x + 1)(x - 3), знаки +,−,++, -, +; максимум x=−1x = -1, минимум x=3x = 3.
Обратите внимание: В ответ пишут абсциссу точки (xx), а не значение функции, — если не спрошено значение.
Разберём пример
Найдите точку максимума функции y=x3−9x2+24x+11y = x^{3} - 9x^{2} + 24x + 11.
  1. Найдём производную: y′=3x2−18x+24y' = 3x^{2} - 18x + 24.
  2. Приравняем к нулю: y′=3(x−2)(x−4)=0y' = 3(x - 2)(x - 4) = 0, откуда x=2x = 2 или x=4x = 4.
  3. Знаки производной: ++, −-, ++ на промежутках (−∞;2)(-\infty; 2), (2;4)(2; 4), (4;+∞)(4; +\infty).
  4. В точке максимума производная меняет знак с плюса на минус: это x=2x = 2.
Ответ: 2.
Способ. Как решать
1.
Найдите y′y' и разложите на множители.
→
2.
Найдите нули производной и расставьте знаки на промежутках.
→
3.
Выберите нужную точку; «значение в точке» — подставьте её в yy.

4. Тренировка

Задания — по возрастанию сложности.
Базовый уровень
Время на выполнение: ≈10 мин
1) Точка максимума кубической функции. Найдите точку максимума функции y=x3−3x2−144x+3y = x^{3} - 3x^{2} - 144x + 3.
2) Точка минимума кубической функции. Найдите точку минимума функции y=x3+6x2−15x+4y = x^{3} + 6x^{2} - 15x + 4.
Средний уровень
Время на выполнение: ≈24 мин
3) Точка максимума при отрицательном старшем коэффициенте. Найдите точку максимума функции y=−x3+9x2+24y = -x^{3} + 9x^{2} + 24.
4) Точка минимума при отрицательном старшем коэффициенте. Найдите точку минимума функции y=−x3+21x2−144x−2y = -x^{3} + 21x^{2} - 144x - 2.
5) Точка максимума многочлена четвёртой степени. Найдите точку максимума функции y=x4−2x2+4y = x^{4} - 2x^{2} + 4.
6) Точка минимума многочлена четвёртой степени. Найдите положительную точку минимума функции y=x4−32x2−2y = x^{4} - 32x^{2} - 2.
Повышенный уровень
Время на выполнение: ≈28 мин
7) Значение в точке максимума. Найдите значение функции y=x3−3x2+21y = x^{3} - 3x^{2} + 21 в точке максимума.
8) Значение в точке минимума. Найдите значение функции y=x3+3x2−45x−3y = x^{3} + 3x^{2} - 45x - 3 в точке минимума.
9) Точка максимума с удвоенным коэффициентом. Найдите точку максимума функции y=2x3+18x2+2y = 2x^{3} + 18x^{2} + 2.
10) Значение в точке минимума при отрицательном коэффициенте. Найдите значение функции y=−x3+18x2−96x+23y = -x^{3} + 18x^{2} - 96x + 23 в точке минимума.