MathGURU
УрокиВойти
← Глава 5. Элементы комбинаторики

§ 17. Формула бинома Ньютона

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 4 из 5
§ 17. Формула бинома Ньютона
(Глава 5. Элементы комбинаторики)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • находить биномиальные коэффициенты
  • решать задачи с биномом: суммы, свободный член
Образовательные результаты (ФОП)
  • Применять комбинаторное правило умножения при решении задач. (В10.6)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Вычислите 9!8!\dfrac{9!}{8!}.
  2. 2) Сколькими способами можно выбрать 33 дежурных из 1010 учеников?

3. Изучаем новый материал

Бином

  • (a+b)n=∑Cnkan−kbk(a + b)^n = \sum C_n^k a^{n-k} b^k, всего n+1n + 1 слагаемое.
  • Сумма коэффициентов — значение при a=b=1a = b = 1, то есть 2n2^n.
Обратите внимание: (x−2)5(x - 2)^5: коэффициент при x3x^3 — C52⋅(−2)2=40C_5^2 \cdot (-2)^2 = 40.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: находить биномиальные коэффициенты.
Коэффициент при an−kbka^{n-k}b^k — CnkC_n^k; в (x+c)n(x + c)^n при xn−kx^{n-k} — CnkckC_n^k c^k.
Время на выполнение: ≈14 мин
Образец решения
Найдите коэффициент при a8ba^{8}b в разложении (a+b)9(a + b)^{9}.
  1. Слагаемое бинома: C91a8b1C_{9}^{1} a^{8} b^{1}.
  2. C91=9C_{9}^{1} = 9.
Ответ: 9.
1) Базовый уровень. Найдите коэффициент при a3ba^{3}b в разложении (a+b)4(a + b)^{4}.
2) Базовый уровень. Сколько слагаемых получится в разложении (x+y)12(x + y)^{12} по формуле бинома Ньютона?
3) Средний уровень. Найдите коэффициент при x6x^{6} в разложении (x+2)7(x + 2)^{7}.
4) Средний уровень. Найдите коэффициент при xx в разложении (x−2)4(x - 2)^{4}.
Навык 2: решать задачи с биномом: суммы, свободный член.
Сумма коэффициентов — подставляем x=1x = 1; свободный член (x+1x)n\left(x + \dfrac1x\right)^n — степень n−2k=0n - 2k = 0.
Время на выполнение: ≈23 мин
Образец решения
Найдите наибольший биномиальный коэффициент в разложении (a+b)5(a + b)^{5}.
  1. Наибольшие коэффициенты — в середине строки треугольника Паскаля.
  2. C52=10C_{5}^{2} = 10.
Ответ: 10.
5) Средний уровень. Найдите наибольший биномиальный коэффициент в разложении (a+b)9(a + b)^{9}.
6) Средний уровень. С помощью формулы бинома вычислите (11)3(11)^{3}, представив число как (10+1)(10 + 1).
7) Повышенный уровень. Найдите коэффициент при x3x^{3} в разложении (3x+1)6(3x + 1)^{6}.
8) Повышенный уровень. Найдите член разложения (x+1x)4\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{4}, не содержащий xx.
9) Повышенный уровень. Найдите сумму коэффициентов многочлена (x−2)4(x - 2)^{4} после раскрытия скобок.