MathGURU
УрокиВойти
← Глава 5. Элементы комбинаторики

§ 18. Вычисление вероятностей с помощью комбинаторики

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 10 класс
Урок 5 из 5
§ 18. Вычисление вероятностей с помощью комбинаторики
(Глава 5. Элементы комбинаторики)
Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока
На уроке научимся:
  • находить вероятность через число сочетаний
  • решать задачи на выборки из нескольких групп
Образовательные результаты (ФОП)
  • Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие, элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта, находить вероятности в опытах с равновозможными случайными событиями, находить и сравнивать вероятности событий в изученных случайных экспериментах. (В10.3)
  • Применять комбинаторное правило умножения при решении задач. (В10.6)

2. Разминка

Повторение пройденного: решите в тетради.
  1. 1) Вычислите C162C_{16}^{2}.
  2. 2) Найдите коэффициент при a8ba^{8}b в разложении (a+b)9(a + b)^{9}.

3. Изучаем новый материал

Схема

  • P=число благоприятных выборокчисло всех выборокP = \dfrac{\text{число благоприятных выборок}}{\text{число всех выборок}}, обе считаем через CnkC_n^k или n!n!.

Выбор из двух групп

  • Ровно jj «особых» из dd: CdjCn−dk−jCnk\dfrac{C_d^j C_{n-d}^{k-j}}{C_n^k}.
Обратите внимание: «Хотя бы один» — через противоположное: 1−Cn−dkCnk1 - \dfrac{C_{n-d}^k}{C_n^k}.

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.
Навык 1: находить вероятность через число сочетаний.
Два отличника из 1010 учеников (44 отличника): C42C102=645\dfrac{C_4^2}{C_{10}^2} = \dfrac{6}{45}.
Время на выполнение: ≈11 мин
Образец решения
Из 1616 учеников, среди которых 44 отличника, наугад выбирают 22. Найдите вероятность того, что все выбранные — отличники.
  1. Всего способов: C162=120C_{16}^{2} = 120.
  2. Благоприятных: C42=6C_{4}^{2} = 6.
  3. P=6120=0,05P = \dfrac{6}{120} = 0{,}05.
Ответ: 0,05.
1) Базовый уровень. Из 55 учеников, среди которых 22 отличника, наугад выбирают 22. Найдите вероятность того, что все выбранные — отличники.
2) Средний уровень. 2525 человек в случайном порядке садятся в ряд. Найдите вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.
3) Средний уровень. 44 тома собрания сочинений случайно ставят на полку. Найдите вероятность того, что они встанут по порядку номеров слева направо. Ответ округлите до тысячных.
Навык 2: решать задачи на выборки из нескольких групп.
Смешанная группа — произведение сочетаний по группам, делённое на CnkC_n^k; одного цвета — сумма по цветам.
Время на выполнение: ≈14 мин
Образец решения
В группе 33 юноши и 33 девушки. Наугад выбирают 44 человека. Найдите вероятность того, что выбраны 22 юноши и 22 девушки.
  1. Всего: C64=15C_{6}^{4} = 15.
  2. Благоприятных: C32⋅C32=9C_{3}^{2} \cdot C_{3}^{2} = 9.
  3. P=0,6P = 0{,}6.
Ответ: 0,6.
4) Средний уровень. В группе 33 юноши и 33 девушки. Наугад выбирают 22 человека. Найдите вероятность того, что выбраны 11 юноша и 11 девушка.
5) Повышенный уровень. 2626 команд случайно разбивают на 22 группы по 1313 команд. Найдите вероятность того, что две определённые команды окажутся в одной группе.
6) Повышенный уровень. В вазе роз: красных — 22, жёлтых — 33, белых — 33. Наугад берут две розы. Найдите вероятность того, что они одного цвета.