§ 1. Математическое ожидание случайной величины

📄 Рабочий лист урока

🖨 Распечатать

Лист для работы на уроке: решайте в тетради или распечатайте. Ответы проверите в треке.

Вероятность и статистика • 11 класс

Урок 1 из 3

§ 1. Математическое ожидание случайной величины

(Глава 1. Математическое ожидание)

Фамилия, имя: ______________________________Класс: ______Дата: ________

1. Цель урока

Цель урока

На уроке научимся:

вычислять математическое ожидание по таблице
строить распределение и находить ожидание

Образовательные результаты (ФОП)

Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры, как применяется математическое ожидание случайной величины находить математическое ожидание по данному распределению. (В11.2)

2. Разминка

Решите в тетради.

1) Распределение случайной величины $X$ задано таблицей. Найдите её математическое ожидание.
$X$ 0 4 8
$P$ 0{,}05 0{,}2 0{,}75
2) Правильный кубик заменили правильным $8$ -гранником, на гранях которого числа от $1$ до $8$ . Найдите математическое ожидание выпавшего числа.

$X$	0	4	8
$P$	0{,}05	0{,}2	0{,}75

3. Изучаем новый материал

Определение

$EX = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$ .

Обратите внимание: Ожидание очков на кости:

\dfrac{1 + \ldots + 6}{6} = 3{,}5

4. Тренировка

Каждый блок — одно умение: сначала образец решения, затем задания от простого к сложному.

Навык 1: вычислять математическое ожидание по таблице.

X

1; 2; 5

с вероятностями

0{,}2; 0{,}5; 0{,}3

—

EX = 0{,}2 + 1 + 1{,}5 = 2{,}7

Время на выполнение: ≈10 мин

Образец решения

Распределение случайной величины

X

задано таблицей. Найдите её математическое ожидание.

$X$	2	4	7
$P$	0{,}3	0{,}5	0{,}2

$EX = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots$ — сумма произведений значений на их вероятности.
$2 \cdot 0{,}3$ + $4 \cdot 0{,}5$ + $7 \cdot 0{,}2$ $= 4$ .

Ответ: 4.

1) Базовый уровень. Распределение случайной величины

X

задано таблицей. Найдите её математическое ожидание.

$X$	3	7	8
$P$	0{,}1	0{,}6	0{,}3

2) Базовый уровень. Правильный кубик заменили правильным

4

-гранником, на гранях которого числа от

1

до

4

. Найдите математическое ожидание выпавшего числа.

3) Средний уровень.

X

— число орлов при

4

бросаниях монеты. Составьте распределение

X

и найдите

EX

Навык 2: строить распределение и находить ожидание.

Сначала находим вероятности всех значений (перебором исходов), затем

EX

; неизвестное значение выражаем из

EX

Время на выполнение: ≈13 мин

Образец решения

Случайная величина

X

принимает значения

0

1

a

с вероятностями

0{,}4

0{,}1

0{,}5

соответственно. Известно, что

EX = 2{,}1

. Найдите

a

$EX = 0{,}1 + 0{,}5a = 2{,}1$ .
$a = \dfrac{2{,}1 - 0{,}1}{0{,}5} = 4$ .

Ответ: 4.

4) Средний уровень. Случайная величина

X

принимает значения

4

7

a

с вероятностями

0{,}05

0{,}45

0{,}5

соответственно. Известно, что

EX = 7{,}35

. Найдите

a

5) Средний уровень. Игральную кость бросают

9

раз. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.

6) Повышенный уровень. В урне

20

шаров,

3

из них красные. Наугад вынимают два шара;

X

— число красных среди них. Найдите

EX